Версия для печати
Убрать все задачи

---

Изначально на стол положили 100 карточек, на каждой из которых записано по натуральному числу; при этом было ровно 43 карточки с нечётными числами. Затем каждую минуту проводилась следующая процедура. Для каждых трёх карточек, лежащих на столе, вычислялось произведение записанных на них чисел, все эти произведения складывались, и полученное число записывалось на новую карточку, которая добавлялась к лежащим на столе. Через год после начала процесса выяснилось, что на столе есть карточка с числом, кратным 2¹⁰⁰⁰⁰. Докажите, что число, кратное 2¹⁰⁰⁰⁰, было на одной из карточек уже через день после начала.

   Решение

---

На плоскости дана несамопересекающаяся замкнутая ломаная, никакие три вершины которой не лежат на одной прямой. Назовём пару несоседних звеньев особой, если продолжение одного из них пересекает другое звено. Докажите, что число особых пар чётно.

   Решение

---

В некоторых клетках квадрата 11×11 стоят плюсы, причём всего плюсов чётное количество. В каждом квадратике 2×2 тоже чётное число плюсов.
Докажите, что чётно и число плюсов в 11 клетках главной диагонали квадрата.

   Решение

Страница: << 78 79 80 81 82 83 84 >> [Всего задач: 632]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109963

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Четность и нечетность ] [ Полуинварианты ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

У нескольких крестьян есть 128 овец. Если у кого-то из них оказывается не менее половины всех овец, остальные сговариваются и раскулачивают его: каждый берёт себе столько овец, сколько у него уже есть. Если у двоих по 64 овцы, то раскулачивают кого-то одного из них. Произошло 7 раскулачиваний. Докажите, что все овцы собрались у одного крестьянина.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116036

Темы:   [ Шахматная раскраска ] [ Четность и нечетность ] [ Неравенство Коши ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Квадратная доска разделена на n² прямоугольных клеток  n – 1  горизонтальными и  n – 1  вертикальными прямыми. Клетки раскрашены в шахматном порядке. Известно, что на одной диагонали все n клеток чёрные и квадратные. Докажите, что общая площадь всех чёрных клеток доски не меньше общей площади белых.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116211

Темы:   [ Ломаные ] [ Четность и нечетность ] [ Целочисленные решетки (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Каждое звено несамопересекающейся ломаной состоит из нечётного числа сторон клеток квадрата 100×100, соседние звенья перпендикулярны.
Может ли ломаная пройти через все вершины клеток?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116829

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Четность и нечетность ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

В некоторых клетках квадрата 11×11 стоят плюсы, причём всего плюсов чётное количество. В каждом квадратике 2×2 тоже чётное число плюсов.
Докажите, что чётно и число плюсов в 11 клетках главной диагонали квадрата.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 32881

Темы:   [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Найти количество нечётных чисел в n-й строке треугольника Паскаля.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 78 79 80 81 82 83 84 >> [Всего задач: 632]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями