Страница:
<< 11 12 13 14
15 16 17 >> [Всего задач: 183]
Из центра O правильного n-угольника A1A2...An проведены n векторов в его вершины. Даны такие числа a1, a2, ..., an, что
a1 > a2 > ... > an > 0. Докажите, что линейная комбинация векторов 
отлична от нулевого вектора.
Вершины правильного 45-угольника раскрашены в три цвета, причём вершин каждого цвета поровну. Докажите, что можно выбрать по три вершины каждого цвета так, чтобы три треугольника, образованные выбранными одноцветными вершинами, были равны.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
На окружности длины 2013 отмечены 2013 точек, делящих её на равные дуги. В каждой отмеченной точке стоит фишка. Назовём расстоянием между двумя точками длину меньшей дуги между ними. При каком наибольшем n можно переставить фишки так, чтобы снова в каждой отмеченной точке было по фишке, а расстояние между любыми двумя фишками, изначально удалёнными не более чем на n, увеличилось?
Правильный (4k+2)-угольник вписан в окружность радиуса R с центром O.
Докажите, что сумма длин отрезков, высекаемых углом
AkOAk+1 на прямых
A1A2k, A2A2k–1, ..., AkAk+1, равна R.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 10,11
|
Правильный n-угольник вписан в единичную окружность. Докажите, что
а) сумма квадратов длин всех сторон и всех диагоналей равна n²;
б) сумма длин всех сторон и всех диагоналей равна n ctg π/2n;
в) произведение длин всех сторон и всех диагоналей равно nn/2.
Страница:
<< 11 12 13 14
15 16 17 >> [Всего задач: 183]
Фильтр
Решение
Решение 
