В строку выписано 81 ненулевое число. Сумма любых двух соседних чисел положительна, а сумма всех чисел отрицательна. Каким может быть знак произведения всех чисел?

   Решение

Первоначально на каждом поле доски 1×n стоит шашка. Первым ходом разрешается переставить любую шашку на соседнюю клетку (одну из двух, если шашка не с краю), так что образуется столбик из двух шашек. Далее очередным ходом каждый столбик можно передвинуть в любую сторону на столько клеток, сколько в нём шашек (в пределах доски); если столбик попал на непустую клетку, он ставится на стоящий там столбик и объединяется с ним. Докажите, что за  n – 1  ход можно собрать все шашки на одной клетке.

   Решение

Докажите, что  ABC > 90^o тогда и только тогда, когда точка B лежит внутри окружности с диаметром AC.

   Решение

Можно ли в таблице 6×6 расставить числа 0, 1 и –1 так, чтобы все суммы чисел по вертикалям, горизонталям и двум главным диагоналям были различны?

   Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 591]      

В клетках таблицы 3×3 расставлены числа –1, 0, 1.
Докажите, что какие-то две из восьми сумм по всем строкам, всем столбцам и двум главным диагоналям будут равны.

Прислать комментарий

Решение

Сто человек сидят за круглым столом, причём более половины из них – мужчины. Докажите, что какие-то два мужчины сидят друг напротив друга.

Прислать комментарий

Решение

В алфавите языка племени Ни-Бум-Бум 22 согласных и 11 гласных; словом в этом языке называется произвольное буквосочетание, в котором нет двух согласных подряд и ни одна буква не использована дважды. Алфавит разбили на шесть непустых групп. Докажите, что из всех букв одной из групп можно составить слово.

Прислать комментарий

Решение

Можно ли в таблице 6×6 расставить числа 0, 1 и –1 так, чтобы все суммы чисел по вертикалям, горизонталям и двум главным диагоналям были различны?

Прислать комментарий

Решение

Занятия Вечерней Математической Школы проходят в девяти аудиториях. Среди прочих, на эти занятия приходят 19 учеников из одной и той же школы.
  а) Докажите, что как их не пересаживай, хотя бы в одной аудитории окажется не меньше трех таких школьников.
  б) Верно ли, что в какой-нибудь аудитории обязательно окажется ровно три таких школьника?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 591]