Каталог по темам

Выбрано 8 задач

В треугольнике ABC сторона AB больше стороны BC. Пусть A₁ и B₁ – середины сторон BC и AC, а B₂ и C₂ – точки касания вписанной окружности со сторонами AC и AB. Докажите, что отрезки A₁B₁ и B₂C₂ пересекаются в точке X, лежащей на биссектрисе угла B.

Решение

В треугольнике ABC точка O – центр описанной окружности, точка L – середина стороны AB. Описанная окружность треугольника ALO пересекает прямую AC в точке K. Найдите площадь треугольника ABC, если ∠LOA = 45°, LK = 8, AK = 7.

Решение

Имеется три ящика, в каждом из которых лежат шары с номерами от 0 до 9. Из каждого ящика вынимается по одному шару. Какова вероятность того, что
а) вынуты три единицы;
б) вынуты три равных числа?

Решение

Для тестирования новой программы компьютер выбирает случайное действительное число A из отрезка [1, 2] и заставляет программу решать уравнение 3x + A = 0. Найдите вероятность того, что корень этого уравнения меньше чем –0,4.

Решение

У игрока в преферанс оказалось 4 козыря, а еще 4 находятся на руках у двух его противников. Какова вероятность того, что козыри лягут а) 2 : 2; б) 3 : 1; в) 4 : 0?

Решение

На сторонах BC, CA, и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁, причём AC₁ = AB₁, BA₁ = BC₁ и CA₁ = CB₁.
Докажите, что A₁, B₁ и C₁ – точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника.

Решение

Центр описанной окружности треугольника симметричен его центру вписанной окружности относительно одной из сторон. Найдите углы треугольника.

Решение

Разрежьте уголок, изображенный на рисунке на четыре таких же уголка вдвое меньшего размера.

Решение

Задача 115469

Задача 115474

Задача 116603

Задача 30279

Задача 35528