Каталог по темам

Задачи

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 14]

Задача 97983

Темы:	[	Разложение в произведение транспозиций и циклов	]
	[	Полуинварианты	]
	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Фольклор

Числа 1, 2, 3, ..., n записываются в некотором порядке: a₁, a₂, a₃, ..., a_n. Берётся сумма S = ^a₁/₁ + ^a₂/₂ + ... + ^a_n/_n. Найдите такое n, чтобы среди таких сумм (при всевозможных перестановках a₁, a₂, a₃, ..., a_n) встретились все целые числа от n до n + 100.

Прислать комментарий

Решение

Задача 107776

Темы:	[	Разложение в произведение транспозиций и циклов	]
	[	Инварианты	]
	[	Формулы сокращенного умножения (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Ковальджи В.К.

Несколько населённых пунктов соединены дорогами с городом, а между ними дорог нет. Автомобиль отправляется из города с грузами сразу для всех населённых пунктов. Стоимость каждой поездки равна произведению веса всех грузов в кузове на расстояние. Докажите, что если вес каждого груза численно равен расстоянию от города до пункта назначения, то общая стоимость перевозки не зависит от порядка, в котором объезжаются пункты.

Прислать комментарий

Решение

Задача 79405

Темы:	[	Разложение в произведение транспозиций и циклов	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Теория графов (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

За круглым столом сидят n человек. Разрешается любых двух людей, сидящих рядом, поменять местами. Какое наименьшее число таких перестановок необходимо сделать, чтобы в результате каждые два соседа остались бы соседями, но сидели бы в обратном порядке?

Прислать комментарий

Решение

Задача 30778

Темы:	[	Четность перестановки	]
	[	Разложение в произведение транспозиций и циклов	]
	[	Четность и нечетность	]

Сложность: 3
Классы: 7,8,9

В ряд выписаны числа 1, 2, 3, ..., n. За один ход разрешается поменять местами любые два числа.
Может ли после 1989 таких операций порядок чисел оказаться исходным?

Прислать комментарий

Решение

Задача 67331

Темы:	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
Темы:	[	Разложение в произведение транспозиций и циклов	]

Сложность: 3
Классы: 9,10,11

Авторы: Закорко П., Антропов А.

а) У Полины есть волшебная шоколадка в форме клетчатой лесенки со стороной 10 (см. рисунок), в каждой дольке своя начинка. Каждую минуту Полина отламывает верхний ряд долек шоколадки, поворачивает его на 90 градусов против часовой стрелки и приставляет её к оставшейся части в виде столбца слева, как показано на рисунке (после этого столбец слипается с другой частью, и снова получается цельная лесенка). Как только каждая долька вернётся на то же место, в котором она была изначально, Полина съест всю шоколадку. Через сколько минут это произойдёт?

Как только каждая долька вернётся на то же место, в котором она была изначально, Саша съест шоколадку. Через сколько минут это произойдёт?

б) У Саши есть такая же волшебная шоколадка. Он каждую минуту отламывает верхний ряд долек шоколадки, поворачивает его на 90 градусов по часовой стрелке и приставляет её к оставшейся части в виде столбца слева, как показано на рисунке.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 14]