Докажите равенство треугольников по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них.

   Решение

ABC – равнобедренный треугольник с основанием AC, CD – биссектриса угла C,  ∠ADC = 150°.  Найдите ∠B.

   Решение

Нарисуйте изображение куба, полученное в результате ортогонального проектирования куба на плоскость, перпендикулярную: а) одному из рёбер; б) диагонали одной из граней.

   Решение

Все рёбра пирамиды ABCD равны между собой. Нарисуйте изображение пирамиды ABCD , полученное в результате ортогонального проектирования на плоскость, параллельную AB и CD .

   Решение

Найдите расстояние от центра окружности радиуса 10 до хорды, равной 12.

   Решение

Найдите диагональ прямоугольника со сторонами 5 и 12.

   Решение

Один из катетов прямоугольного треугольника на 10 больше другого и на 10 меньше гипотенузы. Найдите гипотенузу этого треугольника.

   Решение

Докажите, что отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

   Решение

Прямая, проходящая через точку M, удалённую от центра окружности радиуса 10 на расстояние, равное 26, касается окружности в точке A. Найдите AM.

   Решение

а) В треугольниках ABC и A'B'C' равны стороны AC и A'C', углы при вершинах B и B' и биссектрисы углов B и B'.
Докажите, что эти треугольники равны (точнее говоря, треугольник ABC равен треугольнику A'B'C' или треугольнику C'B'A').
б) Через точку D биссектрисы BB₁ угла ABC проведены прямые AA₁ и CC₁ (точки A₁ и C₁ лежат на сторонах треугольника).
Докажите, что если  AA₁ = CC₁,  то  AB = BC.

   Решение

Развертка боковой поверхности конуса представляет сектор с углом в 120^o; в конус вписана треугольная пирамида, углы основания которой составляют арифметическую прогрессию с разностью 15^o. Определить угол наклона к плоскости основания наименьшей из боковых граней.

   Решение

На сторонах AB и BC равностороннего треугольника ABC отмечены точки D и K соответственно, а на стороне AC отмечены точки E и M так, что DA + AE = KC + CM = AB. Отрезки DM и KE пересекаются. Найдите угол между ними.

   Решение

Докажите, что три средние линии разбивают треугольник на четыре равных треугольника.

   Решение

Точка внутри выпуклого четырёхугольника соединена с вершинами. Получились четыре равных треугольника.
Верно ли, что четырёхугольник – ромб?

   Решение

Из точки A проведены два луча, пересекающие данную окружность: один — в точках B и C, другой — в точках D и E. Известно, что AB = 7, BC = 7, AD = 10. Найдите DE.

   Решение

Точка P удалена на расстояние, равное 7, от центра окружности, радиус которой равен 11. Через точку P проведена хорда, равная 18. Найдите отрезки, на которые делится хорда точкой P?

   Решение

Пересекающиеся хорды окружности делятся точкой пересечения в одном и том же отношении. Докажите, что эти хорды равны между собой.

   Решение

Разложить на множители выражение $x^3 + y^3 + z^3 - 3 x y z$.

   Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 266]      

Существуют ли такие натуральные x и y, что  x⁴ – y⁴ = x³ + y³?

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что ни при каких натуральных значениях x и y число  x⁸ – x⁷y + x⁶y² – ... – xy⁷ + y⁸  не является простым.

Прислать комментарий

Решение

Найдите наименьшее натуральное n, при котором число  А = n³ + 12n² + 15n + 180  делится на 23.

Прислать комментарий

Решение

Для чисел а, b и с, отличных от нуля, выполняется равенство:  a²(b + c – a) = b²(c + a – b) = c²(a + b – c).   Следует ли из этого, что  а = b = c?

Прислать комментарий

Решение

Разложить на множители выражение $x^3 + y^3 + z^3 - 3 x y z$.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 266]