Страница: << 20 21 22 23 24 25 26 >> [Всего задач: 420]
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
|
В доме $8N$ этажей. В подъезде два лифта, в каждом из которых кнопки расположены в виде прямоугольника $N\times 8$ ($N$ строк, 8 столбцов), но пронумерованы по-разному: в одном «слева направо, снизу вверх», а в другом «снизу вверх, слева направо» (пример для $N=3$ см. на рисунке). Даня нажимает кнопку своего этажа, не глядя на нумерацию, потому что эта кнопка в обоих лифтах расположена на одном и том же месте. На каком этаже он может жить? (Например, для $N=3$ ответ 1 и 24. Требуется найти все возможные варианты в зависимости от $N$.)
| 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 |
| 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|
| 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 |
| 2 | 5 | 8 | 11 | 14 | 17 | 20 | 23 |
| 1 | 4 | 7 | 10 | 13 | 16 | 19 | 22 |
|
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 9,10
|
В окружность вписан неправильный n-угольник, который при повороте окружности около центра на некоторый угол α ≠ 2π совмещается сам с собой. Доказать, что n – число составное.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
Доказать, что число 100...001, в котором 21974 + 21000 – 1 нулей, составное.
Во всех клетках таблицы 20×20 расставлены плюсы. Разрешается менять знак одновременно во всех клетках строки или столбца.
Можно ли, пользуясь этими операциями, получить ровно 199 минусов?
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9,10
|
Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют равенству ab = cd. Докажите, что число a2000 + b2000 + c2000 + d2000 составное.
Страница: << 20 21 22 23 24 25 26 >> [Всего задач: 420]
Тема:
Все темы
>>
Алгебра и арифметика
>>
Теория чисел. Делимость
>>
Делимость чисел. Общие свойства
