Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 71]
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 9,10,11
|
На плоскости дано конечное число полос, сумма ширин которых равна 100, и круг радиуса 1.
Докажите, что каждую из полос можно параллельно перенести так, чтобы все они вместе покрыли круг.
а) Квадрат со стороной 1 покрыт несколькими меньшими квадратами
со сторонами, параллельными его сторонам. Докажите, что среди
них можно выбрать непересекающиеся квадраты, сумма площадей
которых не меньше 1/9.
б) Площадь объединения нескольких кругов равна 1. Докажите, что
из них можно выбрать несколько попарно непересекающихся кругов с
общей площадью не менее 1/9.
Докажите, что любые n точек на плоскости всегда можно накрыть
несколькими непересекающимися кругами так, что сумма их
диаметров меньше n и расстояние между любыми двумя из них
больше 1.
На круглом столе радиуса R расположено без наложений n
круглых монет радиуса r, причем больше нельзя положить ни
одной монеты. Докажите, что
R/r
2
+ 1.
На сторонах AB, BC, CD и DA выпуклого четырёхугольника ABCD отметили точки E, F, G, H соответственно.
Докажите, что описанные круги треугольников HAE, EBF, FCG и GDH покрывают четырёхугольник ABCD целиком.
Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 71]
Фильтр
