Докажите, что  S_ABCD (AB ^. BC + AD ^. DC)/2.

   Решение

Даны четыре окружности, каждая из которых касается внешним образом двух из трёх остальных. Докажите, что через точки касания можно провести окружность.

   Решение

В треугольнике ABC сторона AB равна 5, угол CAB равен 30^o, радиус описанной окружности равен 2. Докажите, что площадь треугольника ABC строго меньше 5.

   Решение

На столе стоят восемь стаканов с водой. Разрешается взять любые два стакана и уравнять в них количества воды, перелив часть воды из одного стакана в другой. Докажите, что с помощью таких операций можно добиться того, чтобы во всех стаканах было поровну воды.

   Решение

Некто А загадал число от 1 до 15. Некто В задает вопросы на которые можно отвечать ``да" или ``нет". Может ли В отгадать число, задав a) 4 вопроса; б) 3 вопроса.

   Решение

Пусть $n$ – натуральное число. Назовём последовательность $a_1, a_2, ..., a_n$ интересной, если для каждого  $i$ = 1, 2, ..., $n$  верно одно из равенств  $a_i = i$  или  $a_i = i$ + 1.  Назовём интересную последовательность чётной, если сумма её членов чётна, и нечётной – иначе. Для каждой нечётной интересной последовательности нашли произведение её чисел и записали его на первый листок. Для каждой чётной – сделали то же самое и записали на второй листок. На каком листке сумма чисел больше и на сколько? (Дайте ответ в зависимости от $n$.)

   Решение

В классе учатся 38 человек. Докажите, что среди них найдутся четверо, родившихся в один месяц.

   Решение

Пусть l (n) — наименьшее число умножений, необходимое для нахождения xⁿ. На примере чисел n = 15 и n = 63 покажите, что бинарный метод возведения в степень (смотри задачу 5.64) не всегда оптимален, то есть для некоторых n выполняется неравенство l (n) < b(n).

   Решение

Две окружности радиуса R касаются в точке K. На одной из них взята точка A, на другой — точка B, причем AKB = 90^o. Докажите, что AB = 2R.

   Решение

Изначально на доске записаны несколько натуральных чисел (больше одного). Затем каждую минуту на доску дописывается число, равное сумме квадратов всех уже записанных на ней чисел (так, если бы на доске изначально были записаны числа 1, 2, 2, то на первой минуте было бы дописано число  1² + 2² + 2²). Докажите, что сотое дописанное число имеет хотя бы 100 различных простых делителей.

   Решение

Имеется m точек, некоторые из которых соединены отрезками так, что каждая соединена с l точками. Какие значения может принимать l?

   Решение

Рассматривается выпуклый восьмиугольник. С помощью диагонали от него можно отрезать четырёхугольник, причём это можно сделать восемью способами. Может ли случиться, что среди этих восьми четырёхугольников имеется
  а) четыре,
  б) пять
таких, в которые можно вписать окружность?

   Решение

Подмножество X множества "двузначных" чисел 00, 01, ..., 98, 99 таково, что в любой бесконечной последовательности цифр найдутся две цифры, стоящие рядом и образующие число из X. Какое наименьшее количество чисел может содержаться в X?

   Решение

Имеются двое песочных часов – на 7 минут и на 11 минут. Яйцо варится 15 минут. Как отмерить это время при помощи имеющихся часов?

   Решение

Можно ли отметить на числовой оси 50 отрезков (быть может, перекрывающихся) так, что их длины – 1, 2, 3, ... , 50, а их концы – все целые точки от 1 до 100 включительно?

   Решение

У Вани работает 10 сотрудников. Каждый месяц Ваня повышает зарплату на 1 рубль ровно девятерым (по своему выбору).
Как Ване повышать зарплаты, чтобы сделать их одинаковыми? (Зарплата – целое число рублей.)

   Решение

Докажите, что при центральной симметрии окружность переходит в окружность.

   Решение

Трое друзей решают жребием, кто идет за соком. У них есть одна монета. Как им устроить жребий, чтобы все имели равные шансы бежать?

   Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 276]      

Неуловимый Джо никогда не проигрывает на рулетке больше четырех раз подряд и никогда не ставит больше 10 долларов. Как ему выиграть 1000 долларов? (В случае выигрыша на рулетке возвращается удвоенная ставка; вначале Джо имеет 100 долларов.)

Прислать комментарий

Решение

Трое друзей решают жребием, кто идет за соком. У них есть одна монета. Как им устроить жребий, чтобы все имели равные шансы бежать?

Прислать комментарий

Решение

Вам пришло зашифрованное сообщение: Ф В М Ё Ж Т И В Ф Ю Найдите исходное сообщение, если известно, что шифрпреобразование заключалось в следующем. Пусть x₁, x₂ - корни трехчлена x²+3x+1. К порядковому номеру каждой буквы в стандартном русском алфавите (33 буквы) прибавлялось значение многочлена f(x)=x⁶+3x⁵+x⁴+x³+4x²+4x+3, вычисленное либо при x=x₁, либо при x=x₂ (в неизвестном нам порядке), а затем полученное число заменялось соответствующей ему буквой. (Задача с сайта www.cryptography.ru.)

Прислать комментарий

Решение

Для передачи сообщений по телеграфу каждая буква русского алфавита (Е и Ё отождествлены) представляется в виде пятизначной комбинации из нулей и единиц, соответствующих двоичной записи номера данной буквы в алфавите (нумерация букв начинается с нуля). Например, буква А представляется в виде 00000, буква Б - 00001, буква Ч – 10111, буква Я – 11111. Передача пятизначной комбинации производится по кабелю, содержащему пять проводов. Каждый двоичный разряд передается по отдельному проводу. При приеме сообщения Криптоша перепутал провода, поэтому вместо переданного слова получен набор букв ЭАВЩОЩИ. Найдите переданное слово.

Прислать комментарий

Решение

Пусть l (n) — наименьшее число умножений, необходимое для нахождения xⁿ. На примере чисел n = 15 и n = 63 покажите, что бинарный метод возведения в степень (смотри задачу 5.64) не всегда оптимален, то есть для некоторых n выполняется неравенство l (n) < b(n).

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 276]