Многочлен степени  $n > 1$  имеет $n$ разных корней $х_1$, $х_2$, ..., $х_n$. Его производная имеет корни $y_1$, $y_2$, ..., $y_{n-1}$. Докажите неравенство $$\frac{x_1^2 + \dots + x_n^2}{n} > \frac{y_1^2 + \dots + y_{n-1}^2}{n-1}.$$

   Решение

По дороге цепочкой ползут три черепахи. "За мной ползут две черепахи" - говорит первая. "За мной ползет одна черепаха, и передо мной ползет одна черепаха" - говорит вторая. "Передо мной ползут две черепахи, и за мной ползет одна черепаха" - говорит третья. Как такое может быть?

   Решение

Докажите, что сумма расстояний от точки, взятой произвольно внутри правильного треугольника, до его сторон постоянна (и равна высоте треугольника).

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 172]      

Докажите, что сумма расстояний от точки, взятой произвольно внутри правильного треугольника, до его сторон постоянна (и равна высоте треугольника).

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что длина биссектрисы AD треугольника ABC равна  cos.

Прислать комментарий

Решение

Внутри треугольника ABC взята точка O; прямые AO, BO и CO пересекают его стороны в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что:
а)  + + = 1;
б)  ^{. .} = 1.

Прислать комментарий

Решение

Даны (2n - 1)-угольник  A₁...A_{2n - 1} и точка O. Прямые A_kO и  A_{n + k - 1}A_{n + k} пересекаются в точке B_k. Докажите, что произведение отношений  A_{n + k - 1}B_k/A_{n + k}B_k(k = 1,..., n) равно 1.

Прислать комментарий

Решение

Пусть c – длина гипотенузы, – длина биссектрисы одного из острых углов прямоугольного треугольника. Найдите катеты.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 172]