Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Геометрия >> Планиметрия >> Многоугольники >> Правильные многоугольники
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 25 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Две окружности касаются описанной окружности треугольника ABC в точке K; кроме того, одна из этих окружностей касается стороны AB в точке M, а другая касается стороны AC в точке N. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника ABC лежит на прямой MN.

Вниз   Решение

Автор: Акопян А.В.

Дано два тетраэдра A1A2A3A4 и B1B2B3B4. Рассмотрим шесть пар рёбер AiAj и BkBl, где  (i, j, k, l)  – перестановка чисел  (1, 2, 3, 4)  (например, A1A2 и B3B4). Известно, что во всех парах, кроме одной, рёбра перпендикулярны. Докажите, что в оставшейся паре рёбра тоже перпендикулярны.

ВверхВниз   Решение

На дуге CD описанной окружности квадрата ABCD взята точка P. Докажите, что  PA + PC = $ \sqrt{2}$PB.

ВверхВниз   Решение

Среди всех треугольников, вписанных в данную окружность, найдите тот, у которого максимальна сумма квадратов длин сторон.

ВверхВниз   Решение

Найдите геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под данным углом.

ВверхВниз   Решение

Площадь данного выпуклого четырёхугольника равна S. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в серединах сторон данного.

ВверхВниз   Решение

Авторы: Нетай И.В., Шевяков В.

Дан набор из нескольких гирек, на каждой написана масса. Известно, что набор масс и набор надписей одинаковы, но возможно некоторые надписи перепутаны. Весы представляют из себя горизонтальный отрезок, закреплённый за середину. При взвешивании гирьки прикрепляются в произвольные точки отрезка, после чего весы остаются в равновесии либо отклоняются в ту или иную сторону. Всегда ли удастся за одно взвешивание проверить, все надписи верны или нет? (Весы будут в равновесии, если сумма моментов гирь справа от середины равна сумме моментов гирь слева; иначе отклонятся в сторону, где сумма больше. Моментом гири называется произведение ms массы гири m на расстояние s он нее до середины отрезка.)

ВверхВниз   Решение

Найдите предел последовательности, которая задана условиями

a1 = 2,        an + 1 = $\displaystyle {\dfrac{a_n}{2}}$ + $\displaystyle {\dfrac{a_n^2}{8}}$    (n $\displaystyle \geqslant$ 1).


ВверхВниз   Решение

Точка M внутри выпуклого четырехугольника ABCD такова, что площади треугольников ABM, BCM, CDM и DAM равны. Верно ли, что ABCD — параллелограмм, а точка M — точка пересечения его диагоналей?

ВверхВниз   Решение

Вписанная окружность касается сторон BC, CA и AB в точках A1, B1 и C1. Пусть Q — середина отрезка A1B1. Докажите, что $ \angle$B1C1C = $ \angle$QC1A1.

ВверхВниз   Решение

В тетраэдре ABCD все плоские углы при вершине A равны по 60o . Докажите, что AB + AC + AD BC + CD + DB .

ВверхВниз   Решение

Докажите, что сечением пирамиды ABCD плоскостью, параллельной рёбрам AC и BD , является параллелограмм, причём для одной такой плоскости этот параллелограмм будет ромбом. Найдите сторону этого ромба, если AC = a , BD = b .

ВверхВниз   Решение

В треугольнике известны две стороны a и b. Какой должна быть третья сторона, чтобы наибольший угол треугольника имел наименьшую величину?

ВверхВниз   Решение

В трапеции ABCD ( BC || AD ) известно, что AB = c и расстояние от середины отрезка CD до прямой AB равно d . Найдите площадь трапеции.

ВверхВниз   Решение

Основанием пирамиды SABC является правильный треугольник, сторона которого равна 1. Основанием высоты, опущенной из вершины S , является точка O , лежащая внутри треугольника ABC . Расстояние от точки O до стороны CA равно , а расстояние от O до AB относится к расстоянию от O до BC как 3:4 . Площадь грани SBC равна . Найдите объём пирамиды.

ВверхВниз   Решение

Автор: Нилов Ф.

Точки A', B', C' лежат на сторонах BC, CA, AB треугольника ABC. Точка X такова, что  ∠AXB = ∠A'C'B' + ∠ACB  и  ∠BXC = ∠B'A'C' + ∠BAC.
Докажите, что четырёхугольник XA'BC' – вписанный.

ВверхВниз   Решение

Пусть ABCD и A1B1C1D1 — два выпуклых четырёхугольника с соответственно равными сторонами. Докажите, что если $ \angle$A > $ \angle$A1, то $ \angle$B < $ \angle$B1, $ \angle$C > $ \angle$C1, $ \angle$D < $ \angle$D1.

ВверхВниз   Решение

Пусть O и R — центр и радиус описанной окружности треугольника ABC, Z и r — центр и радиус его вписанной окружности; K — точка пересечения медиан треугольника с вершинами в точках касания вписанной окружности со сторонами треугольника ABC. Докажите, что точка Z лежит на отрезке OK, причем OZ : ZK = 3R : r.

ВверхВниз   Решение

Точки A и A1, лежащие внутри окружности с центром O, симметричны относительно точки O. Лучи AP и A1P1 сонаправлены, лучи AQ и A1Q1 тоже сонаправлены. Докажите, что точка пересечения прямых P1Q и PQ1 лежит на прямой AA1. (Точки P, P1, Q и Q1 лежат на окружности.)

ВверхВниз   Решение

Круг радиуса 1 покрыт семью одинаковыми кругами. Докажите, что их радиусы не меньше ½.

ВверхВниз   Решение

С помощью циркуля и линейки впишите в данную окружность прямоугольный треугольник, катет которого проходит через данную точку, если дан один из острых углов этого треугольника.

ВверхВниз   Решение

Автор: Солынин А.

Кристалл пирита представляет собой параллелепипед, на каждую грань которого нанесена штриховка.

На любых двух соседних гранях штриховка перпендикулярна. Существует ли выпуклый многогранник с числом граней, не равным $6$, грани которого можно заштриховать аналогичным образом?

ВверхВниз   Решение

Докажите, что если  6n + 11m  делится на 31, то  n + 7m  также делится на 31.

ВверхВниз   Решение

Итак, Чукча выходит каждый день на охоту по следующему маршруту: 10 км на юг, 10 км на восток, 10 км на север (На запад чукча не ходит) И хоп! Оказывается перед своим чумом. "Однако!" говорит чукча. Теперь вопрос: найти Геометрическое Место Точек, где может находиться чум чукчи.

ВверхВниз   Решение

Существует ли правильный многоугольник, длина одной диагонали которого равна сумме длин двух других диагоналей?

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 181]      

  с решениями  

Задача 55579

Темы:   [ Правильные многоугольники ]
[ Свойства симметрий и осей симметрии ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Докажите, что для любого натурального n существует выпуклый многоугольник, имеющий ровно n осей симметрии.

Прислать комментарий     Решение

Задача 57066

Темы:   [ Правильные многоугольники ]
[ Четность и нечетность ]
[ Поворот помогает решить задачу ]
Сложность: 3
Классы: 9

Число сторон многоугольника A1...An нечётно. Докажите, что:
  а) если этот многоугольник вписанный и все его углы равны, то он правильный;
  б) если этот многоугольник описанный и все его стороны равны, то он правильный.

Прислать комментарий     Решение

Задача 57070

Тема:   [ Правильные многоугольники ]
Сложность: 3
Классы: 9

Существует ли правильный многоугольник, длина одной диагонали которого равна сумме длин двух других диагоналей?

Прислать комментарий     Решение

Задача 57079

Темы:   [ Правильные многоугольники ]
[ Неравенства с векторами ]
[ Центр масс ]
Сложность: 3
Классы: 9

Точка A лежит внутри правильного десятиугольника X1...X10, а точка B — вне его. Пусть  a = + ... +   и  b = + ... + .
Может ли оказаться, что  |a| > |b| ?

Прислать комментарий     Решение

Задача 57080

Темы:   [ Правильные многоугольники ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
[ Момент инерции ]
Сложность: 3
Классы: 9

Правильный многоугольник  A1...An вписан в окружность радиуса R с центром O, X — произвольная точка.
Докажите, что   A1X² + ... + AnX² = n(R² + d²),  где  d = OX.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 181]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .