Крестьянину надо перевезти через речку волка, козу и капусту. Лодка вмещает одного человека, а с ним либо волка, либо козу, либо капусту. Если без присмотра оставить козу и волка, волк съест козу. Если без присмотра оставить капусту и козу, коза съест капусту. Как крестьянину перевезти свой груз через речку?

   Решение

Существует ли такая бесконечная последовательность натуральных чисел, что для любого натурального k сумма любых k идущих подряд членов этой последовательности делится на  k + 1?

   Решение

На плоскости нарисовано 12 прямых, проходящих через точку О. Докажите, что можно выбрать две из них так, что угол между ними будет меньше 17 градусов.

   Решение

Какое самое большое число ладей можно поставить на шахматную доску 8 на 8 так, чтобы они не били друг друга?

   Решение

Докажите, что при инверсии сохраняется угол между окружностями (между окружностью и прямой, между прямыми).

   Решение

В магазин привезли 25 ящиков с тремя разными сортами яблок (в каждом ящике яблоки только одного сорта). Докажите, что среди них есть по крайней мере 9 ящиков с яблоками одного и того же сорта.

   Решение

Докажите, что из 52 целых чисел всегда найдутся два, разность квадратов которых делится на 100.

   Решение

Докажите, что  S_ABC AB ^. BC/2.

   Решение

Сто человек сидят за круглым столом, причём более половины из них – мужчины. Докажите, что какие-то два мужчины сидят друг напротив друга.

   Решение

Двое по очереди ломают шоколадку 6×8. За ход разрешается сделать прямолинейный разлом любого из кусков вдоль углубления. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет в этой игре?

   Решение

Даны отрезки AB, CD и точка O. Конец отрезка называется "отмеченным", если прямая, проходящая через него и точку O, не пересекает другой отрезок. Сколько может быть отмеченных концов?

   Решение

Докажите, что среди степеней двойки есть две, разность которых делится на 1987.

   Решение

Дано 12 целых чисел. Докажите, что из них можно выбрать два, разность которых делится на 11.

   Решение

Путешественник, сняв в гостинице комнату на неделю, предложил хозяину в уплату цепочку из семи серебряных колец  — по кольцу за день, с тем, однако, условием, что будет рассчитываться ежедневно. Хозяин согласился, оговорив со своей стороны, что можно распилить только одно кольцо. Как путешественнику удалось расплатиться с хозяином гостиницы?

   Решение

На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 19, 20. Разрешается стереть любые два числа a и b и вместо них написать число  a + b – 1.
Какое число может остаться на доске после 19 таких операций?

   Решение

Противоположные стороны выпуклого шестиугольника попарно равны и параллельны. Докажите, что он имеет центр симметрии.

   Решение

Внутри прямоугольника ABCD взята точка M. Докажите, что существует выпуклый четырехугольник с перпендикулярными диагоналями длины AB и BC, стороны которого равны AM, BM, CM, DM.

   Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 9759]      

Две окружности радиуса R касаются в точке K. На одной из них взята точка A, на другой — точка B, причем AKB = 90^o. Докажите, что AB = 2R.

Прислать комментарий

Решение

Две окружности радиуса R пересекаются в точках M и N. Пусть A и B — точки пересечения серединного перпендикуляра к отрезку MN с этими окружностями, лежащие по одну сторону от прямой MN. Докажите, что MN² + AB² = 4R².

Прислать комментарий

Решение

Внутри прямоугольника ABCD взята точка M. Докажите, что существует выпуклый четырехугольник с перпендикулярными диагоналями длины AB и BC, стороны которого равны AM, BM, CM, DM.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что при центральной симметрии окружность переходит в окружность.

Прислать комментарий

Решение

Противоположные стороны выпуклого шестиугольника попарно равны и параллельны. Докажите, что он имеет центр симметрии.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 9759]