Даны окружность, прямая и точки A, A', B, B', C, C', M, лежащие на этой прямой. Согласно задачам 30.1 и 30.3 существует единственное проективное преобразование данной прямой на себя, отображающее точки A, B, C соответственно в A', B', C'. Обозначим это преобразование через P. Постройте при помощи одной линейки а) точку P(M); б) неподвижные точки отображения P (задача Штейнера).

   Решение

Продолжения равных хорд AB и CD окружности соответственно за точки B и C пересекаются в точке P.
Докажите, что треугольники APD и BPC равнобедренные.

   Решение

Докажите, что проективное преобразование прямой однозначно определяется образами трех произвольных точек.

   Решение

а) В магазине "Все для чая" есть 5 разных чашек и 3 разных блюдца. Сколькими способами можно купить чашку с блюдцем?

б) В магазине есть еще 4 чайные ложки. Сколькими способами можно купить комплект из чашки, блюдца и ложки?

в) В магазине по-прежнему продается 5 чашек, 3 блюдца и 4 чайные ложки. Сколькими способами можно купить два предмета с разными названиями?

   Решение

Даны четыре окружности S₁, S₂, S₃, S₄. Пусть S₁ и S₂ пересекаются в точках A₁ и A₂, S₂ и S₃ — в точках B₁ и B₂, S₃ и S₄ — в точках C₁ и C₂, S₄ и S₁ — в точках D₁ и D₂ (рис.). Докажите, что если точки A₁, B₁, C₁, D₁ лежат на одной окружности S (или прямой), то и точки A₂, B₂, C₂, D₂ лежат на одной окружности (или прямой).

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

Даны четыре окружности, причем окружности S₁ и S₃ пересекаются с обеими окружностями S₂ и S₄. Докажите, что если точки пересечения S₁ с S₂ и S₃ с S₄ лежат на одной окружности или прямой, то и точки пересечения S₁ с S₄ и S₂ с S₃ лежат на одной окружности или прямой (рис.).

Прислать комментарий

Решение

Даны четыре окружности S₁, S₂, S₃, S₄. Пусть S₁ и S₂ пересекаются в точках A₁ и A₂, S₂ и S₃ — в точках B₁ и B₂, S₃ и S₄ — в точках C₁ и C₂, S₄ и S₁ — в точках D₁ и D₂ (рис.). Докажите, что если точки A₁, B₁, C₁, D₁ лежат на одной окружности S (или прямой), то и точки A₂, B₂, C₂, D₂ лежат на одной окружности (или прямой).

Прислать комментарий

Решение

Стороны выпуклого пятиугольника ABCDE продолжили так, что образовалась пятиконечная звезда AHBKCLDMEN (рис.). Около треугольников — лучей звезды описали окружности. Докажите, что пять точек пересечения этих окружностей, отличных от A, B, C, D, E, лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

На плоскости взяты шесть точек A₁, A₂, A₃, B₁, B₂, B₃. Докажите, что если описанные окружности треугольников A₁A₂B₃, A₁B₂A₃ и B₁A₂A₃ проходят через одну точку, то и описанные окружности треугольников B₁B₂A₃, B₁A₂B₃ и A₁B₂B₃ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

На плоскости взяты шесть точек A₁, A₂, B₁, B₂, C₁, C₂. Докажите, что если окружности, описанные около треугольников A₁B₁C₁, A₁B₂C₂, A₂B₁C₂, A₂B₂C₁, проходят через одну точку, то и окружности, описанные около треугольников A₂B₂C₂, A₂B₁C₁, A₁B₂C₁, A₁B₁C₂, проходят через одну точку.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]