Страница:
<< 26 27 28 29
30 31 32 >> [Всего задач: 195]
Дана невозрастающая последовательность чисел
1/2k = a1 ≥ a2 ≥ ... ≥ an ≥ ... > 0, a1 + a2 + ... + an + ... = 1.
Доказать, что найдутся k чисел, из которых самое маленькое больше половины самого большого.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
В возрастающей бесконечной последовательности натуральных чисел каждое число,
начиная с 2002-го, является делителем суммы всех предыдущих чисел. Докажите, что
в этой последовательности найдётся некоторое число, начиная с которого каждое число равно сумме всех предыдущих.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11
|
На карусели с n сиденьями мальчик катался n сеансов подряд. После каждого сеанса он вставал и, двигаясь по часовой стрелке, пересаживался на другое сиденье. Число сидений карусели, мимо которых мальчик проходит при пересаживании, включая и то, на которое он садится, назовём длиной перехода. При каких n за n сеансов мальчик мог побывать на каждом сиденье, если длины всех n – 1 переходов различны и меньше n?
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Существует ли такой выпуклый четырехугольник, у которого длины всех сторон и диагоналей в некотором порядке образуют геометрическую прогрессию?
Натуральные числа от 1 до n расставляются в ряд в произвольном
порядке. Расстановка называется плохой, если в
ней можно отметить 10 чисел (не обязательно стоящих подряд), идущих
в
порядке убывания. Остальные расстановки называются хорошими.
Докажите,
что количество хороших расстановок не превосходит 81
n.
Страница:
<< 26 27 28 29
30 31 32 >> [Всего задач: 195]
Фильтр
