Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что если какая-либо хорда выпуклой фигуры делит её на две части равного периметра, но разной площади, то существует выпуклая фигура , имеющая тот же периметр, что и , но большую площадь.

   Решение

---

Докажите, что   ½ – ⅓ + ¼ – ⅕ + ... + ¹/₉₈ – ¹/₉₉ + ¹/₁₀₀ > ⅕.

   Решение

---

В таблице 3×3 одна из угловых клеток закрашена чёрным цветом, все остальные – белым. Докажите, что с помощью перекрашивания строк и столбцов нельзя добиться того, чтобы все клетки стали белыми. Под перекрашиванием строки или столбца понимается изменение цвета всех клеток в строке или столбце.

   Решение

---

Докажите, что для любого выпуклого многогранника имеет место соотношение

где B — число его вершин, P — число ребер, Г — число граней.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 102820

Темы:   [ Эйлерова характеристика ] [ Шахматная раскраска ]

Сложность: 2+ Классы: 6,7

Участок m×n. Прямоугольный участок размера m×n разбит на квадраты 1×1. Каждый квадрат является отдельным участком, соединенным калитками с соседними участками. При каких размерах участка можно обойти все квадратные участки, побывав в каждом по одному разу, и вернуться в первоначальный?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58174  [Формула Эйлера]

Тема:   [ Эйлерова характеристика ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Многоугольник разрезан на несколько многоугольников. Пусть p — количество полученных многоугольников, q — количество отрезков, являющихся их сторонами, r — количество точек, являющихся их вершинами. Докажите, что p - q + r = 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60331  [Теорема Эйлера]

Темы:   [ Эйлерова характеристика ] [ Формула Эйлера. Эйлерова характеристика ] [ Индукция в геометрии ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Докажите, что для любого выпуклого многогранника имеет место соотношение

где B — число его вершин, P — число ребер, Г — число граней.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58175

Темы:   [ Эйлерова характеристика ] [ Свойства частей, полученных при разрезаниях ]

Сложность: 5+ Классы: 8,9,10,11

Выпуклый многоугольник разрезан на p треугольников так, что на их сторонах нет вершин других треугольников. Пусть n и m — количества вершин этих треугольников, лежащих на границе исходного многоугольника и внутри его.
а) Докажите, что p = n + 2m - 2.
б) Докажите, что количество отрезков, являющихся сторонами полученных треугольников, равно 2n + 3m - 3.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109674

Темы:   [ Эйлерова характеристика ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Выпуклые многоугольники ]

Сложность: 6 Классы: 10,11

Дан выпуклый n -угольник ( n>3 ), никакие четыре вершины которого не лежат на одной окружности. Окружность, проходящую через три вершины многоугольника и содержащую внутри себя остальные его вершины, назовем описанной. Описанную окружность назовем граничной, если она проходит через три последовательные (соседние) вершины многоугольника; описанную окружность назовем внутренней, если она проходит через три вершины, никакие две из которых не являются соседними вершинами многоугольника. Докажите, что граничных описанных окружностей на две больше, чем внутренних.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями