Последовательность a₀, a₁, a₂, ... задана условиями  a₀ = 0,  a_n+1 = P(a_n)  (n ≥ 0),  где P(x) – многочлен с целыми коэффициентами,  P(x) > 0  при  x ≥ 0.
Докажите, что для любых натуральных m и k  (a_m, a_k) = a_{(m, k)}.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 112]      

Числовая последовательность {x_n} такова, что для каждого  n > 1  выполняется условие:  x_n+1 = |x_n| – x_n–1.
Докажите, что последовательность периодическая с периодом 9.

Прислать комментарий

Решение

Барон Мюнхгаузен заявил Георгу Кантору, что он может выписать в ряд все натуральные числа без единицы так, что только конечное их число будет больше своего номера. Не хвастает ли барон?

Прислать комментарий

Решение

Пусть a₁, a₂, ... – такая последовательность ненулевых чисел, что  (a_m, a_n) = a_{(m, n)}  (m, n ≥ 1).

Докажите, что все обобщенные биномиальные коэффициенты     являются целыми числами.

Прислать комментарий

Решение

Задача Иосифа Флавия. n человек выстраиваются по кругу и нумеруются числами от 1 до n. Затем из них исключается каждый второй до тех пор, пока не останется только один человек. Например, если n = 10, то порядок исключения таков: 2, 4, 6, 8, 10, 3, 7, 1, 9, так что остается номер 5. Для данного n будем обозначать через J(n) номер последнего оставшегося человека. Докажите, что
а) J(2n) = 2J(n) - 1;
б) J(2n + 1) = 2J(n) + 1;
в) если n = (1b_{m - 1}b_{m - 2}...b₁b₀)₂, то J(n) = (b_{m - 1}b_{m - 2}...b₁b₀1)₂.

Прислать комментарий

Решение

Последовательность a₀, a₁, a₂, ... задана условиями  a₀ = 0,  a_n+1 = P(a_n)  (n ≥ 0),  где P(x) – многочлен с целыми коэффициентами,  P(x) > 0  при  x ≥ 0.
Докажите, что для любых натуральных m и k  (a_m, a_k) = a_{(m, k)}.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 112]