Версия для печати
Убрать все задачи

---

Первый рабочий за час делает на 2 детали больше, чем второй рабочий, и заканчивает работу над заказом, состоящим из 837 деталей, на 4 часа раньше, чем второй рабочий выполняет заказ, состоящий из 899 таких же деталей. Сколько деталей делает в час первый рабочий?

   Решение

---

Докажите, что для любых натуральных m и n хотя бы одно из чисел  ,    не больше  .

   Решение

---

На прямой отмечено 2022 точки так, что каждые две соседние точки расположены на одинаковом расстоянии. Половина точек покрашена в красный цвет, а другая половина – в синий. Может ли сумма длин всевозможных отрезков, у которых левый конец красный, а правый – синий, равняться сумме длин всех отрезков, у которых левый конец синий, а правый – красный? (Концы рассматриваемых отрезков – не обязательно соседние отмеченные точки.)

   Решение

---

Существует ли такое значение α, что все члены бесконечной последовательности cos α, cos 2α, ..., cos(2ⁿα), ... принимают отрицательные значения?

   Решение

Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 333]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60509

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Индукция (прочее) ] [ Геометрическая прогрессия ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Докажите, что  p_n+1 ≤ 2²ⁿ + 1,  где p_n – n-е простое число.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60565

Темы:   [ Числа Фибоначчи ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Докажите следующие свойства чисел Фибоначчи:

а) F1 + F2 +...+ Fn = Fn + 2 - 1;	в) F2 + F4 +...+ F2n = F2n + 1 - 1;
б) F1 + F3 +...+ F2n - 1 = F2n;	г) F12 + F22 +...+ Fn2 = FnFn + 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61396

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Докажите, что для любых натуральных m и n хотя бы одно из чисел  ,    не больше  .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64482

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Индукция (прочее) ] [ Разложение на множители ] [ Тригонометрический круг ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Существует ли такое значение α, что все члены бесконечной последовательности cos α, cos 2α, ..., cos(2ⁿα), ... принимают отрицательные значения?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65864

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Сто медвежат нашли в лесу ягоды: самый младший успел схватить 1 ягоду, медвежонок постарше – 2 ягоды, следующий – 4 ягоды, и так далее, самому старшему досталось 2⁹⁹ ягод. Лиса предложила им поделить ягоды "по справедливости". Она может подойти к двум медвежатам и распределить их ягоды поровну между ними, а если при этом возникает лишняя ягода, то лиса её съедает. Такие действия она продолжает до тех пор, пока у всех медвежат не станет ягод поровну. Какое наименьшее количество ягод может оставить медвежатам лиса?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 333]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями