Пусть p – простое число, большее 10^k. Взяли число, кратное p, и вставили между какими-то двумя его соседними цифрами k-значное число A. Получили число, кратное p. В него вставили k-значное число B – между двумя соседними цифрами числа A, – и результат снова оказался кратным p. Докажите, что число B получается из числа A перестановкой цифр.

   Решение

Страница: << 56 57 58 59 60 61 62 >> [Всего задач: 598]      

Пусть p – простое число, большее 10^k. Взяли число, кратное p, и вставили между какими-то двумя его соседними цифрами k-значное число A. Получили число, кратное p. В него вставили k-значное число B – между двумя соседними цифрами числа A, – и результат снова оказался кратным p. Докажите, что число B получается из числа A перестановкой цифр.

Прислать комментарий

Решение

Таблица размером 2017×2017 заполнена ненулевыми цифрами. Среди 4034 чисел, десятичные записи которых совпадают со строками и столбцами этой таблицы, читаемыми слева направо и сверху вниз соответственно, все, кроме одного, делятся на простое число p, а оставшееся число на p не делится. Найдите все возможные значения p.

Прислать комментарий

Решение

При каких натуральных n для каждого целого  k ≥ n  найдётся кратное n число с суммой цифр k?

Прислать комментарий

Решение

Имеется натуральное 1001-значное число $A$. 1001-значное число $Z$ – то же число $A$, записанное от конца к началу (например, для четырёхзначных чисел это могли быть 7432 и 2347). Известно, что $A > Z$. При каком $A$ частное $A/Z$ будет наименьшим (но строго больше 1)?

Прислать комментарий

Решение

Назовём натуральное число хорошим, если в его десятичной записи есть только нули и единицы. Пусть произведение двух хороших чисел оказалось хорошим числом. Правда ли, что тогда сумма цифр произведения равна произведению сумм цифр сомножителей?

(В 44-м Турнире городов задача предлагалась в эквивалентной формулировке: хорошие числа были названы заурядными)

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 56 57 58 59 60 61 62 >> [Всего задач: 598]