Версия для печати
Убрать все задачи

---

Глеб задумал натуральные числа $N$ и $a$, $a < N$. Число $a$ он написал на доске. Затем он начал выполнять следующую операцию: делить $N$ с остатком на последнее выписанное на доску число, а полученный остаток от деления также записывать на доску. Когда на доске появилось число $0$, он остановился. Мог ли Глеб изначально выбрать такие $N$ и $a$, чтобы сумма выписанных чисел была больше $100 N$?

   Решение

Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 112]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64593

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Сочетания и размещения ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Перед Алёшей 100 закрытых коробочек, в каждой – либо красный, либо синий кубик. У Алёши на счету есть рубль. Он подходит к любой закрытой коробочке, объявляет цвет и ставит любую сумму (можно нецелое число копеек, но не больше, чем у него на счету в данный момент). Коробочка открывается, и Алёшин счет увеличивается или уменьшается на поставленную сумму в зависимости от того, угадан или не угадан цвет кубика. Игра продолжается, пока не будут открыты все все коробочки. Какую наибольшую сумму на счету может гарантировать себе Алёша, если ему известно, что
  a) синий кубик только один;
  б) синих кубиков ровно n.
(Алёша может поставить и 0, то есть просто бесплатно открыть коробочку и увидеть цвет кубика.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98344

Темы:   [ Взвешивания ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Раскладки и разбиения ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Имеется набор гирь, веса которых в граммах: 1, 2, 4,... , 512 (последовательные степени двойки) – по одной гире каждого веса. Груз разрешается взвешивать с помощью этого набора, кладя гири на обе чашки весов.
  а) Докажите, что никакой груз нельзя взвесить этими гирями более чем 89 способами.
  б) Приведите пример груза, который можно взвесить ровно 89 способами.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66561

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Деление с остатком. Арифметика остатков ]

Сложность: 6 Классы: 9,10,11

Глеб задумал натуральные числа $N$ и $a$, $a < N$. Число $a$ он написал на доске. Затем он начал выполнять следующую операцию: делить $N$ с остатком на последнее выписанное на доску число, а полученный остаток от деления также записывать на доску. Когда на доске появилось число $0$, он остановился. Мог ли Глеб изначально выбрать такие $N$ и $a$, чтобы сумма выписанных чисел была больше $100 N$?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109652

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Инварианты ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 6+ Классы: 9,10,11

На бесконечной в обе стороны полосе из клеток, пронумерованных целыми числами, лежит несколько камней (возможно, по нескольку в одной клетке). Разрешается выполнять следующие действия:

1. Снять по одному камню с клеток n-1 и n и положить один камень в клетку n+1 ;
2. Снять два камня с клетки n и положить по одному камню в клетки n+1 , n-2 .

Докажите, что при любой последовательности действий мы достигнем ситуации, когда указанные действия больше выполнять нельзя, и эта конечная ситуация не зависит от последовательности действий (а зависит только от начальной раскладки камней по клеткам).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61100

Темы:   [ Многочлены Чебышева ] [ Тригонометрия (прочее) ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Проверьте, что многочлены Чебышёва T_n(x) и U_n(x) (см. задачу 61099) удовлетворяют начальным условиям
T₀(x) = 1,   T₁(x) = x;   U₀(x) = 1,   U₁(x) = 2x,   и рекуррентным формулам   T_n+1(x) = 2xT_n(x) – T_n–1(x),   U_n+1(x) = 2xU_n(x) – U_n–1(x).

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 112]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями