Страница:
<< 16 17 18 19
20 21 22 >> [Всего задач: 112]
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 7,8,9
|
Каждый член последовательности, начиная со второго, получается прибавлением
к предыдущему числу его суммы цифр. Первым членом последовательности является
единица. Встретится ли в последовательности число 123456?
В последовательности троек целых чисел (2, 3, 5), (6, 15, 10), ... каждая тройка получается из предыдущей таким образом: первое число умножается на второе, второе – на третье, а третье – на первое, и полученные произведения дают новую тройку. Докажите, что ни одно из чисел, получаемых таким образом, не будет степенью целого числа: квадратом, кубом и т.д.
|
[Арифметико-гармоническое среднее]
|
|
Сложность: 3+
Классы: 10,11
|
Пусть a и b – два положительных числа, и a < b. Определим две последовательности чисел {an} и {bn} формулами:
a0 =
a, b0 =
b, an+1 =
,
bn+1 =
(
n ≥ 0).
а) Докажите, что обе эти последовательности имеют общий предел.
Этот предел называется
арифметико-гармоническим средним чисел
a и
b.
б) Докажите, что этот предел совпадает со средним геометрическим чисел
a и
b.
в) Пусть
a = 1,
b = k. Как последовательность {
bn} связана с последовательностью {
xn} из задачи
61299?
|
[Геометрико-гармоническое среднее]
|
|
Сложность: 3+
Классы: 10,11
|
Назовём геометрико-гармоническим средним чисел a и b общий предел последовательностей {an} и {bn}, построенных по правилу
a0 =
a, b0 =
b,
an+1 =
,
bn+1 =
(
n ≥ 0).
Обозначим его через ν(
a, b). Докажите, что величина
ν(
a, b) связана с μ(
a, b) (см. задачу
61322) равенством
ν(
a, b)·μ(
1/
a,
1/
b) = 1.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
|
Существует ли 2005 таких различных натуральных чисел, что сумма любых 2004 из них делится на оставшееся число?
Страница:
<< 16 17 18 19
20 21 22 >> [Всего задач: 112]
Тема:
Все темы
>>
Алгебра и арифметика
>>
Последовательности
>>
Рекуррентные соотношения
>>
Рекуррентные соотношения (прочее)
