Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 21 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Фомин С.В.

Два шахматиста играют между собой в шахматы с часами (сделав ход, шахматист останавливает свои часы и пускает часы другого). Известно, что после того, как оба сделали по 40 ходов, часы обоих шахматистов показывали одно и то же время: 2 часа 30 мин.

  а) Докажите, что в ходе партии был момент, когда часы одного обгоняли часы другого не менее, чем на 1 мин. 51 сек.
  б) Можно ли утверждать, что в некоторый момент разница показаний часов была равна 2 мин.?

Вниз   Решение


В треугольнике ABC проведён серединный перпендикуляр к стороне AB до пересечения с другой стороной в некоторой точке C'. Аналогично построены точки A' и B'. Для каких исходных треугольников треугольник A'B'C' будет равносторонним?

ВверхВниз   Решение


В городе Плоском нет ни одной башни. Для развития туризма жители города собираются построить несколько башен общей высотой в 30 этажей. Инспектор Высотников, поднимаясь на каждую башню, считает число более низких башен, а потом складывает получившиеся величины. После чего инспектор рекомендует город тем сильнее, чем получившаяся величина больше. Сколько и какой высоты башен надо построить жителям, чтобы получить наилучшую возможную рекомендацию?

ВверхВниз   Решение


На знакомом нам заводе вырезают металлические диски диаметром 1 м. Известно, что диск диаметром ровно 1 м весит ровно 100 кг. При изготовлении возникает ошибка измерения, и поэтому стандартное отклонение радиуса составляет 10 мм. Инженер Сидоров считает, что стопка из 100 дисков в среднем будет весить 10000 кг. На сколько ошибается инженер Сидоров?

ВверхВниз   Решение


Какое число больше: 3111 или 1714?

ВверхВниз   Решение


В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA', BB', CC'. Известно, что в треугольнике A'B'C' эти прямые также являются биссектрисами.
Верно ли, что треугольник ABC равносторонний?

ВверхВниз   Решение


Сколько цифр у числа 21000?

ВверхВниз   Решение


Точки M и N – середины соседних сторон соответственно BC и CD параллелограмма ABCD. Докажите, что прямые DM и BN пересекаются на диагонали AC.

ВверхВниз   Решение


Продолжение биссектрисы AD треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке M. Пусть Q - центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Докажите, что треугольники MBQ и MCQ - равнобедренные.

ВверхВниз   Решение


В круге радиуса 1 проведены хорды AB = $ \sqrt{2}$ и BC = $ {\frac{10}{7}}$. Найдите площадь части круга, лежащей внутри угла ABC, если угол BAC острый.

ВверхВниз   Решение


В треугольнике $ABC$ провели высоты $AX$ и $BZ$, а также биссектрисы $AY$ и $BT$. Известно, что углы $XAY$ и $ZBT$ равны. Обязательно ли треугольник $ABC$ равнобедренный?

ВверхВниз   Решение


Докажите, что многочлен  x12x9 + x4x + 1  при всех значениях x положителен.

ВверхВниз   Решение


Одна вершина правильного треугольника лежит на окружности, а две другие делят некоторую хорду на три равные части.
Под каким углом видна хорда из центра окружности?

ВверхВниз   Решение


Автор: Анджанс А.

Будем говорить, что две пирамиды соприкасаются гранями, если эти пирамиды не имеют общих внутренних точек и некоторая грань одной пирамиды пересекается с некоторой гранью другой пирамиды по многоугольнику. Можно ли расположить восемь пирамид в пространстве так, чтобы каждые две соприкасались гранями?

ВверхВниз   Решение


Что больше:  1234567/7654321  или  1234568/7654322?

ВверхВниз   Решение


По окружности выписано 10 чисел, сумма которых равна 100. Известно, что сумма каждых трёх чисел, стоящих рядом, не меньше 29.
Укажите такое наименьшее число А, что в любом таком наборе чисел каждое из чисел не превосходит А.

ВверхВниз   Решение


В треугольник ABC вписана окружность с центром O. На стороне AB выбрана точка P, а на продолжении стороны AC за точку C – точка Q так, что отрезок PQ касается окружности. Докажите, что  ∠BOP = ∠COQ.

ВверхВниз   Решение


Четыре кузнечика сидели в вершинах квадрата. Каждую секунду один из кузнечиков прыгает через другого в симметричную точку (если A прыгает через B в точку A1, то векторы     и     равны). Докажите, что три кузнечика не могут оказаться
  а) на одной прямой, параллельной стороне квадрата;
  б) на одной произвольной прямой.

 

ВверхВниз   Решение


На плоскости даны две параболы:  $y = x^2$  и  $y = x^2 - 1$.  Пусть $U$ – множество всех точек плоскости, лежащих между параболами (включая точки на самих параболах). Существует ли отрезок длины более $10^6$, целиком содержащийся в $U$?

ВверхВниз   Решение


В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза AB равна c и  ∠B = α.  Найдите все медианы этого треугольника.

ВверхВниз   Решение


В ряд выписаны несколько натуральных чисел с суммой 20. Никакое число и никакая сумма нескольких подряд записанных чисел не равна 3. Могло ли быть выписано больше 10 чисел?

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 1036]      



Задача 66513

Тема:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3
Классы: 5,6,7

Ньют хочет перевезти девять фантастических тварей весом 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10 кг в трёх чемоданах, по три твари в каждом. Каждый чемодан должен весить меньше 20 кг. Если вес какой-нибудь твари будет делиться на вес другой твари из того же чемодана, они подерутся. Как Ньюту распределить тварей по чемоданам, чтобы никто не подрался?
Прислать комментарий     Решение


Задача 66529

Тема:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9

Все таверны в царстве принадлежат трем фирмам. В целях борьбы с монополиями царь Горох издал следующий указ: каждый день, если у некоторой фирмы оказывается более половины всех таверн и число её таверн делится на 5, то у этой фирмы остается только пятая часть её таверн, а остальные закрываются. Могло ли так случиться, что через три дня у всех фирм стало меньше таверн? (Новые таверны в это время открываться не могут.)
Прислать комментарий     Решение


Задача 66735

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Алгебра и арифметика (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

В ряд выписаны несколько натуральных чисел с суммой 20. Никакое число и никакая сумма нескольких подряд записанных чисел не равна 3. Могло ли быть выписано больше 10 чисел?

Прислать комментарий     Решение

Задача 66841

Тема:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Карта Квадрландии представляет собой квадрат 6×6 клеток. Каждая клетка – либо королевство, либо спорная территория. Королевств всего 27, а спорных территорий 9. На спорную территорию претендуют все королевства по соседству и только они (то есть клетки, соседние со спорной по стороне или вершине). Может ли быть, что на каждые две спорные территории претендует разное число королевств?

Прислать комментарий     Решение

Задача 66842

Тема:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Какое наибольшее количество различных целых чисел можно выписать в ряд так, чтобы сумма каждых 11 подряд идущих чисел равнялась 100 или 101?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 1036]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .