Версия для печати
Убрать все задачи

---

Можно ли из геометрической прогрессии 1, ½, ¼, ⅛, ... выделить геометрическую прогрессию с суммой членов, равной  а) ¹/₇;  б) ⅕?

   Решение

---

Даны два многочлена от переменной x с целыми коэффициентами. Произведение их есть многочлен от переменной x с чётными коэффициентами, не все из которых делятся на 4. Доказать, что в одном из многочленов все коэффициенты чётные, а в другом – хоть один нечётный.

   Решение

---

Существует ли число, которое делится ровно на 50 чисел из набора 1, 2, ..., 100?

   Решение

---

Дан многоугольник, у которого каждые две соседние стороны перпендикулярны. Назовём две его вершины не дружными, если биссектрисы многоугольника, выходящие из этих вершин, перпендикулярны. Докажите, что для любой вершины количество не дружных с ней вершин чётно.

   Решение

Страница: << 74 75 76 77 78 79 80 >> [Всего задач: 632]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66699

Темы:   [ Раскраски ] [ Четность и нечетность ] [ Обход графов ] [ Степень вершины ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

В каждой вершине выпуклого многогранника сходятся три грани. Каждая грань покрашена в красный, жёлтый или синий цвет.
Докажите, что число вершин, в которых сходятся грани трёх разных цветов, чётно.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66825

Темы:   [ Логика и теория множеств (прочее) ] [ Четность и нечетность ] [ Углы между биссектрисами ] [ Невыпуклые многоугольники ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Дан многоугольник, у которого каждые две соседние стороны перпендикулярны. Назовём две его вершины не дружными, если биссектрисы многоугольника, выходящие из этих вершин, перпендикулярны. Докажите, что для любой вершины количество не дружных с ней вершин чётно.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73598

Темы:   [ Замощения костями домино и плитками ] [ Четность и нечетность ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Можно ли из 18 плиток размером 1×2 выложить квадрат так, чтобы при этом не было ни одного прямого "шва", соeдиняющего противоположные стороны квадрата и идущего по краям плиток? Например, такое расположение плиток, как на рисунке, не годится, так как здесь есть красный "шов".

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 76456

Темы:   [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Четность и нечетность ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Даны два многочлена от переменной x с целыми коэффициентами. Произведение их есть многочлен от переменной x с чётными коэффициентами, не все из которых делятся на 4. Доказать, что в одном из многочленов все коэффициенты чётные, а в другом – хоть один нечётный.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 77994

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Четность и нечетность ] [ Индукция (прочее) ] [ Шахматная раскраска ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

На бесконечной шахматной доске стоит конь. Найти все клетки, куда он может попасть за 2n ходов.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 74 75 76 77 78 79 80 >> [Всего задач: 632]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями