Страница:
<< 41 42 43 44
45 46 47 >> [Всего задач: 326]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
В некотором множестве введена
операция *, которая по каждым двум элементам
a и b этого множества вычисляет некоторый элемент
a*b этого множества. Известно, что:
1°. Для любых трех элементов a, b и c
a*(b*c) = b*(c*a).
2°. Если
a*b = a*c, то
b = c.
3°. Если
a*c = b*c, то
a = b.
Докажите, что операция *
а) коммутативна, то есть для любых элементов a и b верно равенство a*b = b*a;
б) ассоциативна, то есть для любых элементов a, b и c верно равенство (a*b)*c = a*(b*c).
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Имеется кусок цепи из 60 звеньев, каждое из которых весит 1 г. Какое
наименьшее число звеньев надо расковать, чтобы из образовавшихся частей можно
было составить все веса в 1 г, 2 г, 3 г, ..., 60 г (раскованное звено
весит тоже 1 г)?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Отрезок длиной 3
n разбивается на три равные части. Первая и третья из них
называются отмеченными. Каждый из отмеченных отрезков разбивается на три части,
из которых первая и третья снова называются отмеченными и т.д. до тех пор, пока
не получатся отрезки длиной 1. Концы всех отмеченных отрезков называются
отмеченными точками. Доказать, что для любого целого
k(1
k3
n) можно
найти две отмеченные точки, расстояние между которыми равно
k.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Число
A делится на 1, 2, 3, ..., 9. Доказать, что если 2
A представлено в виде суммы натуральных чисел, меньших 10, 2
A =
a1 +
a2 + ... +
ak, то из чисел
a1,
a2, ...,
ak можно выбрать часть, сумма которых равна
A.
Неутомимые Фома и Ерёма строят последовательность. Сначала в последовательности
одно натуральное число. Затем они по очереди выписывают следующие числа: Фома
получает очередное число, прибавляя к предыдущему любую из его цифр, а Ерёма – вычитая из предыдущего любую из его цифр. Докажите, что какое-то число в этой последовательности повторится не меньше 100 раз.
Страница:
<< 41 42 43 44
45 46 47 >> [Всего задач: 326]
Фильтр
Решение 
