Версия для печати
Убрать все задачи

---

В треугольник со сторонами 9 и 15 вписан параллелограмм так, что одна из его сторон, равная 6, лежит на третьей стороне треугольника, а диагонали параллелограмма параллельны двум данным сторонам треугольника. Найдите другую сторону параллелограмма и третью сторону треугольника.

   Решение

---

В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС проведена биссектриса CL. Докажите, что  CL < 2BL.

   Решение

---

В прямоугольную таблицу из m строк и n столбцов записаны mn положительных чисел. Найдём в каждом столбце произведение чисел и сложим все n таких произведений. Докажите, что если переставить числа в каждой строке в порядке возрастания, то сумма аналогичных произведений будет не меньше, чем в первоначальной. Решите эту задачу для
  а)  m = n = 2;
  б)  m = 2  и произвольного n;
  в) любых натуральных m и n.

   Решение

Страница: << 24 25 26 27 28 29 30 >> [Всего задач: 224]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 73732

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Полуинварианты ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

В прямоугольную таблицу из m строк и n столбцов записаны mn положительных чисел. Найдём в каждом столбце произведение чисел и сложим все n таких произведений. Докажите, что если переставить числа в каждой строке в порядке возрастания, то сумма аналогичных произведений будет не меньше, чем в первоначальной. Решите эту задачу для
  а)  m = n = 2;
  б)  m = 2  и произвольного n;
  в) любых натуральных m и n.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78718

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Задачи с ограничениями ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Правило произведения ] [ Объединение, пересечение и разность множеств ]

Сложность: 4 Классы: 10

Одна под другой выписаны 2^n–1 различных последовательностей из нулей и единиц длины n. Известно, что для любых трёх из выписанных последовательностей найдётся такой номер p, что в p-м разряде у всех трёх стоит 1. Доказать, что в некотором разряде у всех выписанных последовательностей стоит 1 и такой разряд только один.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78840

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Правило произведения ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

На всех клетках шахматной доски 8×8 расставлены натуральные числа. Разрешается выделить любой квадрат размером 3×3 или 4×4 и увеличить все числа в нём на 1. Мы хотим в результате нескольких таких операций добиться, чтобы числа во всех клетках делились на 10. Всегда ли это удастся сделать?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79330

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Индукция (прочее) ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 11

В клетках таблицы размером 10×20 расставлено 200 различных чисел. В каждой строчке отмечены три наибольших числа красным цветом, а в каждом столбце отмечены три наибольших числа синим цветом. Доказать, что не менее девяти чисел отмечены в таблице как красным, так и синим цветом.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97919

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Правило произведения ] [ Доказательство от противного ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Клетки шахматной доски 8×8 как-то занумерованы числами от 1 до 32, причём каждое число использовано дважды. Докажите, что можно так выбрать 32 клетки, занумерованные разными числами, что на каждой вертикали и на каждой горизонтали найдётся хотя бы по одной выбранной клетке.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 24 25 26 27 28 29 30 >> [Всего задач: 224]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями