Два угла треугольника равны 40° и 80°. Найдите углы треугольника с вершинами в точках касания вписанной окружности со сторонами данного треугольника.

   Решение

В Тридевятом царстве лишь один вид транспорта – ковер-самолет. Из столицы выходит 21 ковролиния, из города Дальний – одна, а из всех остальных городов – по 20. Докажите, что из столицы можно долететь в Дальний (возможно, с пересадками).

   Решение

В стране Цифра есть 9 городов с названиями 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Путешественник обнаружил, что два города соединены авиалинией в том и только в том случае, если двузначное число, составленное из цифр-названий этих городов, делится на 3. Можно ли добраться из города 1 в город 9?

   Решение

Докажите, что граф с n вершинами, степень каждой из которых не менее ^n–1/₂, связен.

   Решение

Между девятью планетами Солнечной системы введено космическое сообщение. Ракеты летают по следующим маршрутам: Земля – Меркурий, Плутон – Венера, Земля – Плутон, Плутон – Меркурий, Меркурий – Венера, Уран – Нептун, Нептун – Сатурн, Сатурн – Юпитер, Юпитер – Марс и Марс – Уран. Можно ли добраться с Земли до Марса?

   Решение

В равнобедренном треугольнике основание равно 48, а боковая сторона равна 30. Найдите радиусы описанной и вписанной окружностей и расстояние между их центрами.

   Решение

Докажите, что сторона BC треугольника ABC видна из центра O вписанной окружности под углом 90^o + A/2, а из центра O₁ вневписанной окружности, касающейся стороны BC, - под углом 90^o - A/2.

   Решение

Найдите катеты прямоугольного треугольника, если известно, что радиус описанной около треугольника окружности равен R , а радиус вписанной в него окружности равен r . При каком отношении задача имеет решение?

   Решение

Дано n точек,  n > 4.  Докажите, что можно соединить их стрелками так, чтобы из каждой точки в любую другую можно было попасть, пройдя либо по одной стрелке, либо по двум (каждые две точки можно соединить стрелкой только в одном направлении; идти по стрелке можно только в указанном на ней направлении).

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      

В стране каждые два города соединены дорогой с односторонним движением. Доказать, что можно проехать по всем городам, побывав в каждом по одному разу (то есть что в полном ориентированном графе есть гамильтонов путь).

Прислать комментарий

Решение

12 шахматистов сыграли турнир в один круг. Потом каждый из них написал 12 списков. В первом только он, в (k+1)-м – те, кто были в k-м и те, у кого они выиграли. Оказалось, что у каждого шахматиста 12-й список отличается от 11-го. Сколько было ничьих?

Прислать комментарий

Решение

Дано n точек,  n > 4.  Докажите, что можно соединить их стрелками так, чтобы из каждой точки в любую другую можно было попасть, пройдя либо по одной стрелке, либо по двум (каждые две точки можно соединить стрелкой только в одном направлении; идти по стрелке можно только в указанном на ней направлении).

Прислать комментарий

Решение

В городе одна синяя площадь и n зелёных, причём каждая зелёная площадь соединена улицами с синей и с двумя зелёными, как показано на рисунке. На каждой из 2n улиц ввели одностороннее движение так, что на каждую площадь можно проехать и с каждой – уехать. Докажите, что с каждой площади этого города можно, не нарушая правил, доехать до любой из остальных.

Прислать комментарий

Решение

Выбежав после уроков на двор, каждый школьник кинул снежком ровно в одного другого школьника.
Докажите, что всех учащихся можно разбить на три команды так, что члены одной команды друг в друга снежками не кидали.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]