Версия для печати
Убрать все задачи

---

Правильный n-угольник вписан в единичную окружность. Докажите, что
а) сумма квадратов длин всех сторон и всех диагоналей равна n²;
б) сумма длин всех сторон и всех диагоналей равна  n ctg ^π/_2n;
в) произведение длин всех сторон и всех диагоналей равно  n^n/2.

   Решение

---

Дан многочлен  P(x) = a_2nx²ⁿ + a_2n–1x^2n–1 + ... + a₁x + a₀,  у которого каждый коэффициент a_i принадлежит отрезку  [100, 101].
При каком минимальном натуральном n у такого многочлена может найтись действительный корень?

   Решение

---

В каком отношении делит площадь прямоугольной трапеции, описанной около окружности, биссектриса её острого угла?

   Решение

---

Докажите, что произведение длин двух противоположных рёбер тетраэдра, делённое на произведение синусов двугранных углов тетраэдра, соответствующих этим рёбрам, для данного тетраэдра постоянно (теорема синусов для тетраэдра}.

   Решение

---

Найдите высоту правильного тетраэдра с ребром a .

   Решение

---

В треугольнике ABC угол C равен 90^o , AB = 35 , BC = 28 . Найдите cos A .

   Решение

---

Разрежьте изображённую на рисунке трапецию на три части и сложите из них квадрат.

   Решение

---

В формулу линейной функции  y = kx + b  вместо букв k и b впишите числа от 1 до 20 (каждое по одному разу) так, чтобы получилось 10 функций, графики которых проходят через одну и ту же точку.

   Решение

---

В сегмент вписываются всевозможные пары пересекающихся окружностей, и для каждой пары через точки их пересечения проводится прямая. Докажите, что все эти прямые проходят через одну точку (см. задачу 3.44).

   Решение

---

Дан треугольник ABC. M – середина стороны BC, а P – проекция вершины B на серединный перпендикуляр к AC. Прямая PM пересекает сторону AB в точке Q. Докажите, что треугольник QPB равнобедренный.

   Решение

---

Угол боковой грани с плоскостью основания правильной треугольной пирамиды равен β . Найдите плоский угол при вершине пирамиды.

   Решение

---

Треугольник ABC с острым углом  ∠A = α  вписан в окружность. Её диаметр, проходящий через основание высоты треугольника, проведённой из вершины B, делит треугольник ABC на две части одинаковой площади. Найдите угол B.

   Решение

---

В клетки таблицы m×n вписаны некоторые числа. Разрешается одновременно менять знак у всех чисел некоторого столбца или некоторой строки. Доказать, что многократным повторением этой операции можно превратить данную таблицу в такую, у которой суммы чисел, стоящих в каждом столбце и каждой строке, неотрицательны.

   Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 223]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 58077

Тема:   [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

На плоскости дано бесконечное множество прямоугольников, вершины каждого из которых расположены в точках с координатами (0, 0), (0, m), (n, 0), (n, m), где n и m — целые положительные числа (свои для каждого прямоугольника). Докажите, что из этих прямоугольников можно выбрать два так, чтобы один содержался в другом.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78019

Темы:   [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Обратный ход ] [ Последовательности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Если дан ряд из 15 чисел

то можно написать второй ряд

где b_i(i = 1, 2, 3,..., 15) равно числу чисел ряда (1), меньших a_i. Существует ли ряд чисел a_i, если дан ряд чисел b_i:

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78087

Темы:   [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Рекуррентные соотношения ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Взяли три числа x, y, z. Вычислили абсолютные величины попарных разностей x₁ = |x - y|, y₁ = |y - z|, z₁ = |z - x|. Тем же способом по числам x₁, y₁, z₁ построили числа x₂, y₂, z₂ и т.д. Оказалось, что при некотором n x_n = x, y_n = y, z_n = z. Зная, что x = 1, найти y и z.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78231

Тема:   [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Доказать, что никакую прямоугольную шахматную доску шириной в 4 клетки нельзя обойти ходом шахматного коня, побывав на каждом поле по одному разу и последним ходом вернувшись на исходную клетку.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78265

Темы:   [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Теория алгоритмов (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

В клетки таблицы m×n вписаны некоторые числа. Разрешается одновременно менять знак у всех чисел некоторого столбца или некоторой строки. Доказать, что многократным повторением этой операции можно превратить данную таблицу в такую, у которой суммы чисел, стоящих в каждом столбце и каждой строке, неотрицательны.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 223]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями