Каталог по темам

Задачи

Страница: << 30 31 32 33 34 35 36 >> [Всего задач: 201]

Задача 78783

Темы:	[	Выигрышные и проигрышные позиции	]
	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Деление с остатком	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Лежит кучка в 10 миллионов спичек. Двое играют в следующую игру. Ходят по очереди. За один ход играющий может взять из кучки спички в количестве pⁿ, где p – простое число, n = 0, 1, 2, 3, ... (например, первый берёт 25 спичек, второй – 8, первый – 1, второй – 5, первый – 49 и т.д.). Выигрывает тот, кто берёт последнюю спичку. Кто выиграет при правильной игре?

Прислать комментарий

Решение

Задача 98107

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Васильев Н.Б.

Можно ли в таблицу 4×4 расставить такие натуральные числа, что одновременно выполняются следующие условия:
1) произведения чисел, стоящих в одной строке, одинаковы для всех строк;
2) произведения чисел, стоящих в одном столбце, одинаковы для всех столбцов;
3) среди чисел нет равных;
4) все числа не больше 100?

Прислать комментарий

Решение

Задача 107814

Темы:	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]
	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Теорема Безу. Разложение на множители	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Сендеров В.А.

Докажите, что для любого многочлена P(x) степени n с натуральными коэффициентами найдется такое целое число k, что числа P(k), P(k + 1), ...,
P(k + 1996) будут составными, если
а) n = 1;
б) n – произвольное натуральное число.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73658

Темы:	[	Произведения и факториалы	]
	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Бешкарев В.П.

Найдите все такие натуральные числа m, что произведение факториалов первых m нечётных натуральных чисел равно факториалу суммы первых m натуральных чисел.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78796

Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Разрезания на части, обладающие специальными свойствами	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Можно ли каждую сторону квадрата так разделить на 100 частей, чтобы из полученных 400 отрезков нельзя было бы составить контура никакого прямоугольника, отличного от исходного квадрата?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 30 31 32 33 34 35 36 >> [Всего задач: 201]