ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

Доказать, что можно расставить в вершинах правильного n-угольника действительные числа x1, x2, ..., xn, все отличные от 0, так, чтобы для любого правильного k-угольника, все вершины которого являются вершинами исходного n-угольника, сумма чисел, стоящих в его вершинах, равнялась 0.

   Решение

Задачи

Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 181]      



Задача 78798

Темы:   [ Правильные многоугольники ]
[ Вспомогательные проекции ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Доказать, что можно расставить в вершинах правильного n-угольника действительные числа x1, x2, ..., xn, все отличные от 0, так, чтобы для любого правильного k-угольника, все вершины которого являются вершинами исходного n-угольника, сумма чисел, стоящих в его вершинах, равнялась 0.

Прислать комментарий     Решение

Задача 79592

Темы:   [ Правильные многоугольники ]
[ Свойства биссектрис, конкуррентность ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Докажите, что в правильном двенадцатиугольнике A1A2...A12 диагонали A1A5, A2A6, A3A8 и A4A11 пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98005

Темы:   [ Правильные многоугольники ]
[ Метод усреднения ]
[ Подсчет двумя способами ]
Сложность: 4
Классы: 9,10

Из центра окружности выходят N векторов, концы которых делят её на N равных дуг. Некоторые векторы синие, остальные – красные. Подсчитаем сумму углов "красный вектор – синий вектор" (каждый угол вычисляется от красного вектора к синему против часовой стрелки) и разделим её на общее число всех таких углов. Докажите, что полученная величина "среднего угла" равна 180°.

Прислать комментарий     Решение

Задача 108112

Темы:   [ Правильные многоугольники ]
[ Вспомогательные проекции ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Из центра O правильного n-угольника A1A2...An проведены n векторов в его вершины. Даны такие числа  a1, a2, ..., an,  что
a1 > a2 > ... > an > 0.  Докажите, что линейная комбинация векторов     отлична от нулевого вектора.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116398

Темы:   [ Правильные многоугольники ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Брагин В.

Вершины правильного 45-угольника раскрашены в три цвета, причём вершин каждого цвета поровну. Докажите, что можно выбрать по три вершины каждого цвета так, чтобы три треугольника, образованные выбранными одноцветными вершинами, были равны.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 181]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .