Статья "Поиск инварианта" (Ионин Ю., Курляндчик Л.)
Материалы по этой теме:
- Книги, журналы, Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В., Ленинградские математические кружки, глава 12. Инвариант
- Книги, журналы, Прасолов В.В., Задачи по планиметрии, глава 23. Делимость, инварианты, раскраски, параграф 3. Инварианты
- Кружки, факультативы, спецкурсы, Кружки МЦНМО, 7 класс, 2004/2005, Занятие 10. Инварианты
- Кружки, факультативы, спецкурсы, ВМШ 57 школы, 7 класс, 2005/06, 9. Инвариант
Фильтр
Выбрано 7 задач Убрать все задачи
Докажите, что если а < 1, b < 1 и a + b ≥ 0,5, то (1 – a)(1 – b) ≤ 9/16.
Объединение нескольких кругов имеет площадь 1. Доказать, что из них можно
выбрать несколько попарно непересекающихся кругов, сумма площадей которых
больше . (Сравни с задачей 78201.)
В равнобедренной трапеции высота равна 10, а диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите среднюю линию трапеции.
Окружности с центрами O1 и O2 касаются внешним образом в точке
K. Некоторая прямая касается этих окружностей в различных точках A
и B и пересекает их общую касательную, проходящую через точку K, в
точке M. Докажите, что
O1MO2 =
AKB = 90o.
Вся семья выпила по полной чашке кофе с молоком, причём Катя выпила четверть всего молока и шестую часть всего кофе.
Сколько человек в семье?
Площадь треугольника ABC равна 1, AC = 2BC, точка K — середина стороны AC. Окружность с центром в точке K пересекает сторону AB в точках M и N, при этом AM = MN = NB. Найдите площадь части треугольника ABC, заключённой внутри круга.
10 фишек стоят на столе по кругу. Сверху фишки красные, снизу – синие.
Разрешены две операции:
а) перевернуть четыре фишки, стоящие подряд;
б) перевернуть четыре фишки, расположенные так: ××0×× (× – фишка, входящая в четвёрку, 0 – не входящая).
Удастся ли, используя несколько раз разрешённые операции, перевернуть все фишки синей стороной вверх?
Задачи Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 199]
Задача 88311 |
|
|
Круг разделён на шесть секторов, в каждом из которых лежит по селёдке. Разрешается за один ход передвинуть любые две селёдки в соседних секторах, двигая их в разные стороны. Можно ли с помощью этой операции собрать все селёдки в одном секторе?
|
|
Решение |
Задача 88312 |
|
|
Можно ли получить ряд 100, 99, 98, ..., 2, 1?
|
|
|
Решение |
Задача 98219 |
|
|
10 фишек стоят на столе по кругу. Сверху фишки красные, снизу – синие.
Разрешены две операции:
а) перевернуть четыре фишки, стоящие подряд;
б) перевернуть четыре фишки, расположенные так: ××0×× (× – фишка, входящая в четвёрку, 0 – не входящая).
Удастся ли, используя несколько раз разрешённые операции, перевернуть все фишки синей стороной вверх?
|
|
Решение |
Задача 98261 |
|
|
Четыре кузнечика сидели в вершинах квадрата. Каждую секунду один из кузнечиков прыгает через другого в симметричную точку (если A прыгает через B в точку A1, то векторы и
равны). Докажите, что три кузнечика не могут оказаться
а) на одной прямой, параллельной стороне квадрата;
б) на одной произвольной прямой.
|
|
|
Решение |
Задача 103772 |
|
|
Гулливер попал в страну лилипутов, имея 7000000 рублей. На все деньги он сразу купил кефир в бутылках по цене 7 рублей за бутылку (пустая бутылка стоила в то время 1 рубль). Выпив весь кефир, он сдал бутылки и на все вырученные деньги сразу купил кефир. При этом он заметил, что и стоимость кефира, и стоимость пустой бутылки выросли в два раза. Затем он снова выпил весь кефир, сдал бутылки, на все вырученные деньги снова купил кефир и т. д. При этом между каждыми двумя посещениями магазина и стоимость кефира, и стоимость пустой бутылки возрастали в два раза. Сколько бутылок кефира выпил Гулливер?
|
|
|
Решение |
Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 199]
