Страница:
<< 34 35 36 37
38 39 40 >> [Всего задач: 201]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
На плоскости нарисован квадрат, стороны которого горизонтальны и вертикальны. В нём проведены несколько отрезков, параллельных сторонам, причём никакие два отрезка не лежат на одной прямой и не пересекаются по точке, внутренней для обоих отрезков. Оказалось, что отрезки разбили квадрат на прямоугольники, причём каждая вертикальная прямая, пересекающая квадрат и не содержащая отрезков разбиения, пересекает ровно k прямоугольников разбиения, а каждая горизонтальная прямая, пересекающая квадрат и не содержащая отрезков разбиения – ровно l прямоугольников. Каким могло оказаться количество прямоугольников разбиения?
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
Муравей ползает по замкнутому маршруту по рёбрам додекаэдра, нигде не разворачиваясь назад. Маршрут проходит ровно два раза по каждому ребру.
Докажите, что некоторое ребро муравей оба раза проходит в одном и том же направлении.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 10,11
|
Внутри квадрата отметили несколько точек и соединили их отрезками между собой и с вершинами квадрата так, чтобы отрезки не пересекались друг с другом (нигде кроме концов). В результате квадрат разделился на треугольники, так что все отмеченные точки оказались в вершинах треугольников, и ни одна не попала на стороны треугольников. Для каждой отмеченной точки и для каждой вершины квадрата подсчитали число проведённых из неё отрезков. Могло ли так случиться, что все эти числа оказались чётными?
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10
|
За круглым столом заседают N рыцарей. Каждое утро чародей Мерлин
сажает их в другом порядке. Начиная со второго дня Мерлин разрешил рыцарям делать в течение дня сколько угодно пересадок такого вида: два сидящих рядом рыцаря меняются местами, если только они не были соседями в первый день. Рыцари стараются сесть в том же порядке, что и в какой-нибудь из предыдущих дней:
тогда заседания прекратятся. Какое наибольшее число дней Мерлин гарантированно может проводить заседания?
(Рассадки, получающиеся друг из друга поворотом, считаются одинаковыми. Мерлин за столом не сидит.)
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 8,9,10,11
|
Сетка линий, изображённая на рисунке, состоит из концентрических окружностей с радиусами 1, 2, 3, 4,... и центром в
точке О, прямой l, проходящей через
точку О, и всевозможных касательных к окружностям,
параллельных l. Вся плоскость разбита этими линиями на клетки, которые раскрашены в шахматном порядке. В цепочке точек, показанных на рисунке, каждые две соседние точки являются противоположными вершинами тёмной клетки. Докажите, что все точки такой бесконечной цепочки лежат на одной параболе (поэтому рисунок словно соткан из светлых и тёмных парабол).
Страница:
<< 34 35 36 37
38 39 40 >> [Всего задач: 201]
Фильтр
Решение 
