Страница:
<< 1271 1272 1273 1274
1275 1276 1277 >> [Всего задач: 21756]
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
|
Дана бесконечная последовательность чисел a1, ..., an, ... Она периодична с периодом 100, то есть a1 = a101, a2 = a102, ... Известно, что a1 ≥ 0,
a1 + a2 ≤ 0, a1 + a2 + a3 ≥ 0 и вообще, сумма a1 + a2 + ... + an неотрицательна при нечётном n и неположительна при чётном n. Доказать, что |a99| ≥ |a100|.
Даны два натуральных числа m и n. Выписываются все различные
делители числа m – числа a, b, ..., k – и все различные делители числа n – числа s, t, ..., z. (Само число и 1 тоже включаются в число делителей.) Оказалось, что a + b + ... + k = s + t + ... + z и 1/a + 1/b + ... + 1/k = 1/s + 1/t + ... + 1/z.
Доказать, что m = n.
Внутри правильного треугольника
ABC лежит точка
O. Известно, что
AOB = 113
o,
BOC = 123
o. Найти углы треугольника,
стороны которого равны отрезкам
OA,
OB,
OC.
В наборе имеется 100 гирь, каждые две из которых отличаются по массе не более
чем на 20 г. Доказать, что эти гири можно положить на две чашки весов, по 50
штук на каждую, так, чтобы одна чашка весов была легче другой не более чем на
20 г.
На каждую чашку весов положили k гирь, занумерованных числами от 1 до k, причём левая чашка перевесила. Оказалось, что если поменять чашками любые две гири с одинаковыми номерами, то всегда либо правая чашка начинает
перевешивать, либо чашки приходят в равновесие. При каких k это возможно?
Страница:
<< 1271 1272 1273 1274
1275 1276 1277 >> [Всего задач: 21756]
Фильтр
