Страница:
<< 114 115 116 117
118 119 120 >> [Всего задач: 604]
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 7,8,9
|
В бесконечной цепочке нервных клеток каждая может находиться в одном из двух состояний: «покой» и «возбуждение». Если в данный момент клетка возбудилась, то она посылает сигнал, который через единицу времени (скажем, через одну миллисекунду) доходит до обеих соседних с ней клеток. Каждая клетка возбуждается в том и только в том случае, если к ней приходит сигнал от одной из соседних клеток; если сигналы приходят одновременно с двух сторон, то они погашаются, и клетка не возбуждается. Например, если в начальной момент времени
t = 0 возбудить три соседние клетки, а остальные оставить в покое, то возбуждение будет распространяться так, как показано на рисунке.
Пусть в начальный момент времени возбуждена только одна клетка. Сколько клеток будет находится в возбужденном состоянии через 15 мсек? через 65 мсек? через 1000 мсек? вообще через t мсек?
Что будет в том случае, если цепочка не бесконечная, а состоит из N клеток, соединённых в окружность,— будет ли возбуждение поддерживаться бесконечно долго или затухнет?
|
[Последовательность Морса]
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11
|
Последовательность Морса.
Бесконечная последовательность
из нулей и единиц
0110 1001 1001 0110 1001...
построена по следующему правилу. Сначала написан нуль. Затем
делается бесконечное количество шагов. На каждом шаге к уже
написанному куску последовательности приписывается новый кусок
той же длины, получаемый из него заменой всех нулей единицами, а
единиц — нулями.
а) Какая цифра стоит на 2001 месте?
б) Будет ли эта последовательность, начиная с некоторого места,
периодической?
в) Докажите, что данная последовательность переходит в себя при
замене каждого нуля на комбинацию 01, а каждой единицы — на
комбинацию 10.
г) Докажите, что ни одно конечно слово из нулей и единиц не
встречается в последовательности Морса три раза подряд.
д) Как, зная представление числа
n в двоичной системе счисления,
найти
n-й элемент данной последовательности?
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
Дано иррациональное число α, 0 < α < ½. По нему определяется новое число α1 как меньшее из двух чисел 2α и 1 – 2α. По этому числу аналогично определяется α2, и так далее.
а) Докажите, что αn < 3/16 для некоторого n .
б) Может ли случиться, что αn > 7/40 при всех натуральных n?
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
Даны многочлены f(x) и g(x) с целыми неотрицательными коэффициентами, m – наибольший коэффициент многочлена f. Известно, что для некоторых натуральных чисел a < b имеют место равенства f(a) = g(a) и f(b) = g(b). Докажите, что если b > m, то многочлены f и g совпадают.
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 9,10,11
|
N друзей одновременно узнали N новостей, причём каждый узнал одну
новость. Они стали звонить друг другу и обмениваться новостями.
Каждый разговор длится 1 час. За один разговор можно передать сколько угодно новостей.
Какое минимальное количество часов необходимо, чтобы все узнали все новости?
Рассмотрите три случая:
а) N = 64,
б) N = 55,
в) N = 100.
Страница:
<< 114 115 116 117
118 119 120 >> [Всего задач: 604]
Фильтр
