Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 2 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Дан треугольник ABC. Рассмотрим три окружности, первая из которых касается описанной окружности Ω в вершине A, а вписанной окружности ω внешним образом в какой-то точке A1. Аналогично определяются точки B1 и C1.
  а) Докажите, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.
  б) Пусть A2 – точка касания ω со стороной BC. Докажите, что прямые AA1 и AA2 симметричны относительно биссектрисы угла A.

Вниз   Решение


Пусть V ─ объём тетраэдра, S₁ и S₂ ─ площади двух граней, a ─ длина их общего ребра, φ ─ величина двугранного угла между
ними. Докажите, что V = 
2
3
 · 
SS₂ sin φ
a
.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 14 15 16 17 18 19 20 >> [Всего задач: 201]      



Задача 109594

Темы:   [ Простые числа и их свойства ]
[ Перебор случаев ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9

Найдите все такие простые числа p, q, r и s, что их сумма – простое число. а числа  p² + qs  и  p² + qr  – квадраты натуральных чисел. (Числа p, q, r и s предполагаются различными.)

Прислать комментарий     Решение

Задача 109875

Темы:   [ Простые числа и их свойства ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Количество и сумма делителей числа ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9

Найдите все такие простые числа p, что число  p² + 11  имеет ровно шесть различных делителей (включая единицу и само число).

Прислать комментарий     Решение

Задача 110120

Темы:   [ Простые числа и их свойства ]
[ Уравнения в целых числах ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Найдите все простые p, для каждого из которых существуют такие натуральные x и y, что  px = y³ + 1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 111766

Темы:   [ Простые числа и их свойства ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

При каких натуральных n найдутся такие целые a, b, c, что их сумма равна нулю, а число  an + bn + cn  – простое?

Прислать комментарий     Решение

Задача 111788

Темы:   [ Простые числа и их свойства ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9

Существуют ли такие простые числа p1, p2, ..., p2007, что    делится на p2,    делится на p3, ...,    делится на p1?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 14 15 16 17 18 19 20 >> [Всего задач: 201]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .