Каталог по темам

Задачи

Страница: << 58 59 60 61 62 63 64 >> [Всего задач: 704]

Задача 116700

Темы:	[	Геометрическая прогрессия	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Числовые неравенства. Сравнения чисел.	]

Сложность: 4+
Классы: 11

Автор: Косухин О.Н.

Для n = 1, 2, 3 будем называть числом n-го типа любое число, которое либо равно 0, либо входит в бесконечную геометрическую прогрессию
1, (n + 2), (n + 2)², ..., либо является суммой нескольких различных её членов. Докажите, что любое натуральное число можно представить в виде суммы числа первого типа, числа второго типа и числа третьего типа.

Прислать комментарий

Решение

Задача 110026

Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
Темы:	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Тухвебер С.

Последовательность a1, a2,..,a2000 действительных чисел такова, что для любого натурального n , 1 n2000 , выполняется равенство

a13+a23+..+a_n3=(a1+a2+..+a_n)2.
Докажите, что все члены этой последовательности – целые числа.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61235

Темы:	[	Числа Фибоначчи	]
	[	Обратные тригонометрические функции	]
	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Докажите, что числа Фибоначчи {F_n} удовлетворяют соотношению

arcctg F_2n - arcctg F_{2n + 2} = arcctg F_{2n + 1}.

(8.2)

Получите отсюда равенство

arcctg 2 + arcctg 5 + arcctg 13 +...+ arcctg F_{2n + 1} +...= $\displaystyle {\dfrac{\pi}{4}}$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 61337

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Предел последовательности, сходимость	]
	[	Производная и касательная	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Последовательность чисел x₀, x₁, x₂,...задается условиями

x₀ = 1, x_{n + 1} = a^x_n (n $\displaystyle \geqslant$ 0).

Найдите наибольшее число a, для которого эта последовательность имеет предел. Чему равен этот предел для такого a?

Прислать комментарий

Решение

Задача 61464

Темы:	[	Линейные рекуррентные соотношения	]
Темы:	[	Квадратные корни (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Рассмотрим равенства:

2 + $\displaystyle \sqrt{3}$	=	$\displaystyle \sqrt{4}$ + $\displaystyle \sqrt{3}$ ,
(2 + $\displaystyle \sqrt{3}$ )²	=	$\displaystyle \sqrt{49}$ + $\displaystyle \sqrt{48}$ ,
(2 + $\displaystyle \sqrt{3}$ )³	=	$\displaystyle \sqrt{676}$ + $\displaystyle \sqrt{675}$ ,
(2 + $\displaystyle \sqrt{3}$ )⁴	=	$\displaystyle \sqrt{9409}$ + $\displaystyle \sqrt{9408}$ .

Обобщите результат наблюдения и докажите возникшие у вас догадки.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 58 59 60 61 62 63 64 >> [Всего задач: 704]