Каталог по темам

Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 [Всего задач: 44]

Задача 109653

Темы:	[	Классические неравенства (прочее)	]
	[	Выделение полного квадрата. Суммы квадратов	]
	[	Квадратный трехчлен (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Малинникова Е.

Пусть P(x) – квадратный трёхчлен с неотрицательными коэффициентами.
Докажите, что для любых действительных чисел x и y справедливо неравенство (P(xy))² ≤ P(x²)P(y²).

Прислать комментарий

Решение

Задача 111763

Темы:	[	Вычисление производной	]
	[	Неравенства с модулями	]
	[	Квадратный трехчлен (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Агаханов Н.Х.

Квадратные трёхчлены f(x) и g(x) таковы, что f '(x)g'(x) ≥ |f(x)| + |g(x)| при всех действительных x.
Докажите, что произведение f(x)g(x) равно квадрату некоторого трёхчлена.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78126

Темы:	[	Квадратные уравнения и системы уравнений	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Квадратный трехчлен (прочее)	]
	[	Периодичность и непериодичность	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Найти все действительные решения системы

Прислать комментарий

Решение

Задача 111813

Темы:	[	Свойства коэффициентов многочлена	]
	[	Обыкновенные дроби	]
	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Квадратный трехчлен (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Даны положительные рациональные числа a, b. Один из корней трёхчлена x² – ax + b – рациональное число, в несократимой записи имеющее вид ^m/_n. Докажите, что знаменатель хотя бы одного из чисел a и b (в несократимой записи) не меньше n^2/3.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 [Всего задач: 44]