Страница: << 172 173 174 175 176 177 178 >> [Всего задач: 1010]
Световое табло состоит из нескольких ламп, каждая из которых может находиться в двух состояниях (гореть или не гореть). На пульте несколько кнопок, при нажатии каждой из которых одновременно меняется состояние некоторого набора ламп (для каждой кнопки – своего). Вначале лампы не горят.
а) Докажите, что число различных узоров, которые можно получить на табло, – степень двойки.
б) Сколько различных узоров можно получить на табло, состоящем из mn лампочек, расположенных в форме прямоугольника размером m×n, если кнопками можно переключить как любой горизонтальный, так и любой вертикальный ряд ламп?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Число A делится на 1, 2, 3, ..., 9. Доказать, что если 2A представлено в виде суммы натуральных чисел, меньших 10, 2A = a1 + a2 + ... + ak, то из чисел a1, a2, ..., ak можно выбрать часть, сумма которых равна A.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 составляются всевозможные семизначные числа, в
записи которых каждая из этих цифр встречается ровно один раз.
Доказать, что сумма всех таких чисел делится на 9.
Сеть метро имеет на каждой линии не менее 4 станций, из них не более трёх
пересадочных. Ни на какой пересадочной станции не скрещиваются более двух
линий. Какое наибольшее число линий может иметь такая сеть, если с каждой
станции на любую другую можно попасть, сделав не больше двух пересадок?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Набор чисел A1, A2, ..., A100 получен некоторой перестановкой из чисел 1, 2, ..., 100. Образуют сто чисел:
B1 = A1, B2 = A1 + A2, B3 = A1 + A2 + A3, ..., B100 = A1 + A2 + A3 + ... + A100.
Докажите, что среди остатков от деления на 100 чисел B1, B2, ..., B100 найдутся 11 различных.
Страница: << 172 173 174 175 176 177 178 >> [Всего задач: 1010]
Фильтр
