Страница:
<< 91 92 93 94
95 96 97 >> [Всего задач: 506]
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11
|
На олимпиаду пришло 2018 участников, некоторые
из них знакомы между собой. Будем говорить, что несколько попарно знакомых участников образуют "кружок", если любой другой участник олимпиады не знаком с кем-то
из них. Докажите, что можно рассадить всех участников
олимпиады по 90 аудиториям так, что ни в какой аудитории не будут сидеть все представители какого-либо "кружка".
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10
|
Найдите суммы
а) 1·n + 2(n – 1) + 3(n – 2) + ... + n·1.
б) Sn,k = (1·2·...·k)·(n(n – 1)...(n – k + 1)) + (2·3·...·(k + 1))·((n – 1)(n – 2)...(n – k)) + ... + ((n – k + 1)(n – k + 2)...·n)·(k(k – 1)·...·1).
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11
|
Числа 1, 2, 3, ..., 101 выписаны в ряд в каком-то порядке.
Докажите, что из них можно вычеркнуть 90 так, что оставшиеся 11 будут расположены по их величине (либо возрастая, либо убывая).
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11
|
Игра в "супершахматы" ведётся на доске размером 30×30, и в ней участвуют 20 разных фигур, каждая из которых ходит по своим правилам. Известно, однако, что
1) любая фигура с любого поля бьёт не более 20 полей и
2) если фигуру сдвинуть на несколько полей, то битые поля соответственно сдвигаются (может быть, исчезают за пределы поля).
Докажите, что
а) любая фигура F бьёт данное поле Х не более, чем с 20 полей;
б) можно расставить на доске все 20 фигур так, чтобы ни одна из них не била другую.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
Имеется набор гирь, веса которых в граммах: 1, 2, 4,... , 512 (последовательные степени двойки) – по одной гире каждого веса. Груз разрешается взвешивать с помощью этого набора, кладя гири на обе чашки весов.
а) Докажите, что никакой груз нельзя взвесить этими гирями более чем 89 способами.
б) Приведите пример груза, который можно взвесить ровно
89 способами.
Страница:
<< 91 92 93 94
95 96 97 >> [Всего задач: 506]
Фильтр
