Страница:
<< 89 90 91 92
93 94 95 >> [Всего задач: 506]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
На доске выписано (n – 1)n выражений: x1 – x2, x1 – x3, ..., x1 – xn, x2 – x1, x2 – x3, ..., x2 – xn, ..., xn – xn–1, где n ≥ 3. Лёша записал в тетрадь все эти выражения, их суммы по два различных, по три различных и т. д. вплоть до суммы всех выражений. При этом Лёша во всех выписываемых суммах приводил подобные слагаемые (например, вместо (x1 – x2) +
(x2 – x3) Лёша запишет x1 – x3, а вместо (x1 – x2) + (x2 – x1) он запишет 0).
Сколько выражений Лёша записал в тетрадь ровно по одному разу?
|
[Формула для чисел Каталана]
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11
|
а) Пусть {a1, a2,..., an} – последовательность целых чисел, сумма которых равна 1. Докажите, что ровно у одного из ее циклических сдвигов
{a1, a2, ..., an}, {a2, ..., an, a1}, ..., {an, a1, ..., an–1} все частичные суммы (от начала до произвольного элемента) положительны.
б) Выведите отсюда равенства: 
где (4n – 2)!!!! = 2·6·10·...(4n – 2) – произведение, в котором участвует каждое четвёртое число.
Определение чисел Каталана Cn смотри в
справочнике.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
В таблице m строк, n столбцов. Горизонтальным ходом называется такая перестановка элементов таблицы, при которой каждый элемент остаётся в той строке, в которой он был и до перестановки; аналогично определяется вертикальный ход ("строка" в предыдущем определении заменяется на "столбец"). Укажите такое k, что за k ходов (любых) можно получить любую перестановку элементов таблицы, но существует такая перестановка, которую нельзя получить за меньшее число ходов.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11
|
В правильном (6n+1)-угольнике K вершин покрашено в красный цвет, а остальные – в синий.
Докажите, что количество равнобедренных треугольников с одноцветными вершинами не зависит от способа раскраски.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Дана таблица n×n клеток и такие натуральные числа k и m > k, что m и n – k взаимно просты. Таблица заполняется следующим образом: пусть в некоторой строчке записаны числа a1, ..., ak, ak+1, ..., am, am+1, ..., an. Тогда в следующей строчке записываются те же числа, но в таком порядке: am+1, ..., an, ak+1, ..., am, a1, ..., ak. В первую строчку записываются (по порядку) числа 1, 2, ..., n. Доказать, что после заполнения таблицы в каждом столбце будут написаны все числа от 1 до n.
Страница:
<< 89 90 91 92
93 94 95 >> [Всего задач: 506]
Фильтр
