Страница: << 54 55 56 57 58 59 60 >> [Всего задач: 609]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60748

Тема:   [ Малая теорема Ферма ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Пусть p – простое число,  p > 2.  Докажите, что любой простой делитель числа  2^p – 1  имеет вид  2kp + 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60751

Тема:   [ Малая теорема Ферма ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Пусть для простого числа  p > 2  и целого a, не кратного p, выполнено сравнение  x² ≡ a (mod p).  Докажите, что  a^(p–1)/2 ≡ 1 (mod p).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60779  [Теорема Эйлера]

Темы:   [ Теорема Эйлера ] [ Малая теорема Ферма ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Теорема Эйлера. Пусть  m ≥ 1  и  (a, m) = 1.  Тогда  a^φ(m) ≡ 1 (mod m).
Докажите теорему Эйлера с помощью малой теоремы Ферма
  а) в случае, когда  m = pⁿ;
  б) в общем случае.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60825  [Китайская теорема об остатках]

Тема:   [ Китайская теорема об остатках ]

Сложность: 4

Докажите китайскую теорему об остатках:
  Пусть целые числа m₁, ..., m_n попарно взаимно просты,  m = m₁...m_n,  и a₁, ..., a_n, A – произвольные целые числа. Тогда существует ровно одно такое целое число x, что
    x ≡ a₁ (mod m₁),
      ...
    x ≡ a_n (mod m_n)

и   A ≤ x < A + m.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60829

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Произведения и факториалы ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Найдите остаток от деления числа 1000! на 10²⁵⁰.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 54 55 56 57 58 59 60 >> [Всего задач: 609]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями