Страница: << 58 59 60 61 62 63 64 >> [Всего задач: 609]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 111875

Темы:   [ Китайская теорема об остатках ] [ Произведения и факториалы ] [ Простые числа и их свойства ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

При каких натуральных  n > 1  существуют такие натуральные b₁, ..., b_n  (не все из которых равны), что при всех натуральных k число
(b₁ + k)(b₂ + k)...(b_n + k)  является степенью натурального числа? (Показатель степени может зависеть от k, но должен быть больше 1.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115411

Темы:   [ Малая теорема Ферма ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Даны натуральные числа x и y из отрезка  [2, 100].  Докажите, что при некотором натуральном n число x²ⁿ + y²ⁿ  – составное.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116396

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Докажите, что при  n > 1  число   1¹ + 3³ + ... + (2ⁿ – 1)^{2n – 1}   делится на 2ⁿ, но не делится на 2ⁿ⁺¹.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30685

Тема:   [ Малая теорема Ферма ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10

а) Пусть p – простое число, отличное от 3. Докажите, что число 1...1 (p единиц) не делится на p.

б) Пусть  p > 5  – простое число. Докажите, что число 1...1  (p – 1  единица) делится на p.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78761

Темы:   [ Деление с остатком ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Имеется натуральное число  n > 1970.  Возьмём остатки от деления числа 2ⁿ на 2, 3, 4, ..., n. Доказать, что сумма этих остатков больше 2n.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 58 59 60 61 62 63 64 >> [Всего задач: 609]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями