Страница:
<< 10 11 12 13 14 15
16 >> [Всего задач: 78]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 7,8,9
|
Двое игроков по очереди выставляют на доску 65×65 по одной шашке. При этом ни в одной линии (горизонтали или вертикали) не должно быть больше двух
шашек. Кто не может сделать ход – проиграл. Кто выигрывает при правильной игре?
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
В стране больше 101 города. Столица соединена авиалиниями со 100 городами, а каждый город, кроме столицы, соединён авиалиниями ровно с десятью городами (если A соединён с B, то B соединён с A). Известно, что из каждого города можно попасть в любой другой (может быть, с пересадками). Доказать, что можно закрыть половину авиалиний, идущих из столицы, так, что возможность попасть из каждого города в любой другой сохранится.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
По кругу расставлено несколько коробочек. В каждой из них может лежать один или несколько шариков (или она может быть пустой). За один ход разрешается взять все шарики из любой коробочки и разложить их, двигаясь по часовой стрелке, начиная со следующей коробочки, кладя в каждую коробочку по одному шарику.
а) Докажите, что если на каждом следующем ходе шарики берут из той коробочки, в которую попал последний шарик на предыдущем ходе, то в какой-то момент повторится начальное размещение шариков.
б) Докажите, что за несколько ходов из любого начального размещения шариков по коробочкам можно получить любое другое.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
Система укреплений состоит из блиндажей. Некоторые из блиндажей соединены траншеями, причём из каждого блиндажа можно перебежать в какой-нибудь другой. В одном из блиндажей спрятался пехотинец. Пушка может одним выстрелом накрыть любой блиндаж. В каждом промежутке между выстрелами пехотинец обязательно перебегает по одной из траншей в соседний блиндаж (даже если по соседнему блиндажу только что стреляла пушка, пехотинец может туда перебежать). Назовём систему надёжной, если у пушки нет гарантированной стратегии поражения пехотинца (то есть такой последовательности выстрелов, благодаря которой пушка
поразит пехотинца независимо от его начального местонахождения и последующих
передвижений).
а) Докажите, что система укреплений, изображённая на рисунке,
надёжна.
б) Найдите все надёжные системы укреплений, которые перестают быть
надёжными после разрушения любой из траншей.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
|
Дана ладья, которой разрешается делать ходы только длиной в одну клетку. Доказать, что она может обойти все клетки прямоугольной шахматной доски, побывав на каждой клетке ровно один раз, и вернуться в начальную клетку тогда и только тогда, когда число клеток на доске чётно.
Страница:
<< 10 11 12 13 14 15
16 >> [Всего задач: 78]
Фильтр
