Версия для печати
Убрать все задачи

---

Сегодня 17.02.2008 . Наташа заметила, что в записи этой даты сумма первых четырех цифр равна сумме последних четырех. Когда в этом году такое совпадение случится в последний раз?

   Решение

---

На квадратном торте расположены треугольные шоколадки, которые не соприкасаются между собой. Всегда ли можно разрезать торт на выпуклые многоугольники так, чтобы каждый многоугольник содержал ровно одну шоколадку? (Торт считайте плоским квадратом.)

   Решение

---

На складе лежало несколько целых головок сыра. Ночью пришли крысы и съели 10 головок, причём все ели поровну. У нескольких крыс от обжорства заболели животы. Остальные семь крыс следующей ночью доели оставшийся сыр, но каждая крыса смогла съесть вдвое меньше сыра, чем накануне. Сколько сыра было на складе первоначально?

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 50]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64584

Темы:   [ Классические неравенства (прочее) ] [ Линейная и полилинейная алгебра ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Дан набор из нескольких гирек, на каждой написана масса. Известно, что набор масс и набор надписей одинаковы, но возможно некоторые надписи перепутаны. Весы представляют из себя горизонтальный отрезок, закреплённый за середину. При взвешивании гирьки прикрепляются в произвольные точки отрезка, после чего весы остаются в равновесии либо отклоняются в ту или иную сторону. Всегда ли удастся за одно взвешивание проверить, все надписи верны или нет? (Весы будут в равновесии, если сумма моментов гирь справа от середины равна сумме моментов гирь слева; иначе отклонятся в сторону, где сумма больше. Моментом гири называется произведение ms массы гири m на расстояние s он нее до середины отрезка.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79518

Темы:   [ Классические неравенства (прочее) ] [ Исследование квадратного трехчлена ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Доказать, что для любых чисел  a₁, ..., a₁₉₈₇  и положительных чисел  b₁,..., b₁₉₈₇  справедливо неравенство

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109653

Темы:   [ Классические неравенства (прочее) ] [ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ] [ Квадратный трехчлен (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Пусть P(x) – квадратный трёхчлен с неотрицательными коэффициентами.
Докажите, что для любых действительных чисел x и y справедливо неравенство  (P(xy))² ≤ P(x²)P(y²).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61392  [Неравенство Юнга]

Темы:   [ Классические неравенства (прочее) ] [ Неравенство Иенсена ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Даны рациональные положительные p, q, причём  ¹/_p + ¹/_q = 1.  Докажите, что для положительных a и b выполняется неравенство   ab ≤ ^ap/_p + ^bq/_q.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 35526

Темы:   [ Задачи на проценты и отношения ] [ Классические неравенства (прочее) ]

Сложность: 2+ Классы: 7,8,9

Под какой процент выгоднее положить деньги в банк на год: 6% в год или 0,5% в месяц?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 50]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями