Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 171]      

Петя и Вася по очереди проводят дороги на плоскости, начинает Петя. Дорога — это горизонтальная или вертикальная прямая, по которой можно двигаться только в одну сторону (выбранную при создании дороги). Всегда ли Вася может действовать так, чтобы после любого его хода можно было проехать по правилам от любого перекрёстка дорог до любого другого, как бы ни действовал Петя?

Прислать комментарий

Решение

У Паши и Миши есть квадратная таблица $100\times100$, в каждой клетке которой стоит либо плюс, либо минус. Паша и Миша по очереди вычёркивают: Паша — ещё не вычеркнутую строку, а Миша — ещё не вычеркнутый столбец, пока не останется всего одна невычеркнутая клетка. Если в ней стоит плюс, то выиграл Паша, а если минус — Миша. Могла ли таблица оказаться такой, что в этой игре, кто бы её ни начинал — Паша или Миша, — способ гарантировать себе победу имеется
а) у того, кто ходит вторым;
б) у начинающего?

Прислать комментарий

Решение

Страна Фарра расположена на 1 000 000 000 островов. Между некоторыми островами каждый день курсируют пароходы. Маршруты пароходов устроены так, что с каждого острова можно попасть на любой другой (возможно, за несколько дней). Шпион и майор Пронин могут совершать не более одного рейса в день на пароходе и не имеют никакой другой возможности попасть с острова на остров. Шпион не ездит на пароходе 13 числа каждого месяца, майор Пронин не суеверен и всегда знает, где находится шпион. Доказать, что майор сможет поймать шпиона (т.е. оказаться с ним на одном острове).

Прислать комментарий

Решение

Двое играют в следующую игру. Каждый игрок по очереди вычёркивает 9 чисел (по своему выбору) из последовательности 1, 2, 3, ..., 100, 101. После одиннадцати таких вычёркиваний останутся два числа. Затем второй игрок присуждает первому столько очков, какова разница между этими оставшимися числами. Доказать, что первый игрок всегда сможет набрать по крайней мере 55 очков, как бы ни играл второй.

Прислать комментарий

Решение

На шахматной доске 20×20 стоят 10 ладей и один король. Король не стоит под шахом и идёт из левого угла в правый верхний по диагонали. Ходят по очереди: сначала король, потом одна из ладей. Доказать, что при любом начальном расположении ладей и любом способе маневрирования ими король попадёт под шах.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 171]