Каталог по темам

Задачи

Страница: << 18 19 20 21 22 23 24 >> [Всего задач: 423]

Задача 61021

Тема:

[

Производная и кратные корни

]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Докажите, что многочлен

P(x) = 1 + x + $\displaystyle {\frac{x^2}{2!}}$ +...+ $\displaystyle {\frac{x^n}{n!}}$

не имеет кратных корней.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61023

Тема:

[

Производная и кратные корни

]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Докажите, что многочлен x²ⁿ - nx^{n + 1} + nx^{n - 1} - 1 при n > 1 имеет трехкратный корень x = 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61307

Тема:

[

Предел последовательности, сходимость

]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Для последовательности {a_n}

$\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}^{}$ $\displaystyle \left(\vphantom{a_{n+1}-\dfrac{a_n}{2}}\right.$ a_{n + 1} - $\displaystyle {\dfrac{a_n}{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{a_{n+1}-\dfrac{a_n}{2}}\right)$ = 0.

Докажите, что $\lim\limits_{n\to\infty}^{}$ a_n = 0.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61313

Темы:	[	Предел последовательности, сходимость	]
Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Последовательность чисел {a_n} задана условиями

a₁ = 1, a_{n + 1} = $\displaystyle {\dfrac{3a_n}{4}}$ + $\displaystyle {\dfrac{1}{a_n}}$ (n $\displaystyle \geqslant$ 1).

Докажите, что
а) последовательность {a_n} ограничена;
б) | a₁₀₀₀ - 2| < $\left(\vphantom{\dfrac{3}{4}}\right.$ ${\dfrac{3}{4}}$ $\left.\vphantom{\dfrac{3}{4}}\right)^{1000}_{}$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 64767

Темы:	[	Рациональные и иррациональные числа	]
Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Авторы: Богданов И.И., Берлов С.Л.

В республике математиков выбрали число α > 2 и выпустили монеты достоинствами в 1 рубль, а также в α^k рублей при каждом натуральном k. При этом α было выбрано так, что достоинства всех монет, кроме самой мелкой, иррациональны. Могло ли оказаться, что любую сумму в натуральное число рублей можно набрать этими монетами, используя монеты каждого достоинства не более 6 раз?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 18 19 20 21 22 23 24 >> [Всего задач: 423]