Материалы по этой теме:
-
Книги, журналы, Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел, глава 1. Метод математической индукции, параграф 1. Аксиома индукции
Книги, журналы, Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел, глава 1. Метод математической индукции, параграф 2. Тождества, неравенства и делимость
Книги, журналы, Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел, глава 1. Метод математической индукции, параграф 3. Индукция в геометрии и комбинаторике
Фильтр
Задачи
Страница: << 28 29 30 31 32 33 34 >> [Всего задач: 332]
На отрезке [0; 1] задана функция f. Эта функция во всех точках неотрицательна, f(1) = 1, наконец, для любых двух неотрицательных чисел x1 и x2, сумма которых не превосходит 1, величина f (x1 + x2) не превосходит суммы величин f(x1) и f(x2).
Последовательность a1, a2,..,a2000 действительных чисел такова, что для
любого натурального n , 1
n2000 , выполняется равенство
a13+a23+..+an3=(a1+a2+..+an)2.
Докажите, что все члены этой последовательности – целые числа.
Некоторые из чисел $a_1,a_2,\dots a_n$ равны +1, остальные равны -1.
Доказать, что
$$\begin{array}{l}
2\sin\left ( a_1+\frac{a_1a_2}{2}+\frac{a_1a_2a_3}{4}+\dots
+\frac{a_1a_2\cdot\ldots\cdot a_n}{2^{n-1}}\right )\frac{\pi}{4}=\\
\qquad {} =a_1\sqrt{2+a_2\sqrt{2+a_3\sqrt{2+\dots +a_n\sqrt{2}}}}.
\end{array}
$$
В частности, при $a_1=a_2=\dots =a_n=1$ имеем:
$$\begin{array}{l}
2\sin\left ( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\dots +\frac{1}{2^{n-1}}\right )
\frac{\pi}{4}=2\cos\frac{\pi}{2^{n+1}}=\\
\qquad {} =\sqrt{2+\sqrt{2+\dots +\sqrt{2}}}.
\end{array}
$$
Среди 300 учеников одной математической школы некоторые путают лево и право, некоторые не путают, а некоторые делают все наоборот, чем им говорят. Первого сентября всех учеников выстроили в одну шеренгу (плечом к плечу) и скомандовали "нале-во!" По этой команде все одновременно повернулись на 90°, — кто налево, а кто направо. Ровно через секунду каждый, кто оказался лицом к лицу к соседу, понимает, что не прав, и поворачивается кругом (на 180°). Как долго это может продолжаться?
Страница: << 28 29 30 31 32 33 34 >> [Всего задач: 332]
Задача 116700 |
|
|
Для n = 1, 2, 3 будем называть числом n-го типа любое число, которое либо равно 0, либо входит в бесконечную геометрическую прогрессию
1, (n + 2), (n + 2)², ..., либо является суммой нескольких различных её членов. Докажите, что любое натуральное число можно представить в виде суммы числа первого типа, числа второго типа и числа третьего типа.
|
|
Решение |
Задача 73808 |
|
|
а) Докажите для любого числа x отрезка [0; 1] неравенство
б) Для любого ли числа х отрезка [0; 1] должно быть верно неравенство
|
|
|
Решение |
Задача 110026 |
|
|
Докажите, что все члены этой последовательности – целые числа.
|
|
|
Решение |
Задача 76515 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 108407 |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: << 28 29 30 31 32 33 34 >> [Всего задач: 332]
