Каталог по темам

Задачи

Страница: << 28 29 30 31 32 33 34 >> [Всего задач: 332]

Задача 116700

Темы:	[	Геометрическая прогрессия	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Числовые неравенства. Сравнения чисел.	]

Сложность: 4+
Классы: 11

Автор: Косухин О.Н.

Для n = 1, 2, 3 будем называть числом n-го типа любое число, которое либо равно 0, либо входит в бесконечную геометрическую прогрессию
1, (n + 2), (n + 2)², ..., либо является суммой нескольких различных её членов. Докажите, что любое натуральное число можно представить в виде суммы числа первого типа, числа второго типа и числа третьего типа.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73808

Темы:	[	Монотонность, ограниченность	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Попов В. А.

На отрезке [0; 1] задана функция f. Эта функция во всех точках неотрицательна, f(1) = 1, наконец, для любых двух неотрицательных чисел x₁ и x₂, сумма которых не превосходит 1, величина f (x₁ + x₂) не превосходит суммы величин f(x₁) и f(x₂).

а) Докажите для любого числа x отрезка [0; 1] неравенство f(x₂) ≤ 2x.

б) Для любого ли числа х отрезка [0; 1] должно быть верно неравенство f(x₂) ≤ 1,9x?

Прислать комментарий Решение

Задача 110026

Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
Темы:	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Тухвебер С.

Последовательность a1, a2,..,a2000 действительных чисел такова, что для любого натурального n , 1 n2000 , выполняется равенство

a13+a23+..+a_n3=(a1+a2+..+a_n)2.
Докажите, что все члены этой последовательности – целые числа.

Прислать комментарий

Решение

Задача 76515

Темы:	[	Тождественные преобразования (тригонометрия)	]
Темы:	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Некоторые из чисел a₁, a₂,...a_n равны +1, остальные равны -1. Доказать, что

2 sin $\displaystyle \left(\vphantom{ a_1+\frac{a_1a_2}{2}+\frac{a_1a_2a_3}{4}+\dots +\frac{a_1a_2\cdot\ldots\cdot a_n}{2^{n-1}}}\right.$ a₁ + $\displaystyle {\frac{a_1a_2}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{a_1a_2a_3}{4}}$ + ... + $\displaystyle {\frac{a_1a_2\cdot\ldots\cdot a_n}{2^{n-1}}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ a_1+\frac{a_1a_2}{2}+\frac{a_1a_2a_3}{4}+\dots +\frac{a_1a_2\cdot\ldots\cdot a_n}{2^{n-1}}}\right)$ $\displaystyle {\frac{\pi}{4}}$ =

= a₁ $\displaystyle \sqrt{2+a_2\sqrt{2+a_3\sqrt{2+\dots +a_n\sqrt{2}}}}$ .

В частности, при a₁ = a₂ = ... = a_n = 1, имеем:

2 sin $\displaystyle \left(\vphantom{ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\dots +\frac{1}{2^{n-1}}}\right.$ 1 + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ + ... + $\displaystyle {\frac{1}{2^{n-1}}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\dots +\frac{1}{2^{n-1}}}\right)$ $\displaystyle {\frac{\pi}{4}}$ = 2 cos $\displaystyle {\frac{\pi}{2^{n+1}}}$ =

= $\displaystyle \sqrt{2+\sqrt{2+\dots +\sqrt{2}}}$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 108407

Темы:	[	Процессы и операции	]
Темы:	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 7,8,9

Среди 300 учеников одной математической школы некоторые путают лево и право, некоторые не путают, а некоторые делают все наоборот, чем им говорят. Первого сентября всех учеников выстроили в одну шеренгу (плечом к плечу) и скомандовали "нале-во!" По этой команде все одновременно повернулись на 90°, — кто налево, а кто направо. Ровно через секунду каждый, кто оказался лицом к лицу к соседу, понимает, что не прав, и поворачивается кругом (на 180°). Как долго это может продолжаться?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 28 29 30 31 32 33 34 >> [Всего задач: 332]