Страница:
<< 42 43 44 45
46 47 48 >> [Всего задач: 332]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Пусть a0 – целое, a1, ..., an – натуральные числа. Определим две последовательности
P–1 = 1, P0 = a0, Pk = akPk–1 + Pk–2 (1 ≤ k ≤ n); Q–1 = 0, Q0 = 1, Qk = akQk–1 + Qk–2 (1 ≤ k ≤ n).
Дроби Pk/Qk называются подходящими дробями к числу [a0; a1, a2, ..., an].
Докажите, что построенные последовательности для k = 0, 1, ..., n обладают следующими свойствами:
а) Pk/Qk = [a0; a1, a2,..., ak];
б) PkQk–1 – Pk–1Qk = (–1)k+1;
в) (Pk, Qk) = 1.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Ханойская башня и двоичная
система счисления.
Рассмотрим два
процесса, каждый из которых состоит из 2
8 - 1 шагов. Первый —
это процесс решения головоломки ``Ханойская башня'' (смотри задачу
1.42) при
помощи оптимального алгоритма. Второй — это процесс прибавления
единицы, который начинается с 0 и заканчивается числом 2
8 - 1.
Опишите связь между этими двумя процессами.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
а) Докажите, что 
где a0, ..., an – рациональные числа.
б) Найдите эти представления в явном виде для n = 2, 3, 4, 5.
в) Выразите sinnx при чётном n в виде 
а при нечётном – в виде 
На острове все страны треугольной формы (границы прямые). Если две страны граничат, то по целой стороне. Докажите, что страны можно раскрасить в 3 цвета так, что соседние по стороне страны будут покрашены в разные цвета.
Назовём натуральное число ровным, если в его записи все цифры одинаковы (например: 4, 111, 999999).
Докажите, что любое n-значное число можно представить как сумму не более чем n + 1 ровных чисел.
Страница:
<< 42 43 44 45
46 47 48 >> [Всего задач: 332]
Фильтр
