Каталог по темам

Задачи

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 319]

Задача 109998

Темы:	[	Индукция (прочее)	]
	[	Математическая логика (прочее)	]
	[	Объединение, пересечение и разность множеств	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 4
Классы: 7,8,9,10,11

Автор: Берлов С.Л.

В классе каждый болтун дружит хотя бы с одним молчуном. При этом болтун молчит, если в кабинете находится нечетное число его друзей – молчунов. Докажите, что учитель может пригласить на факультатив не менее половины класса так, чтобы все болтуны молчали.

Прислать комментарий Решение

Задача 107981

Темы:	[	Индукция (прочее)	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4+
Классы: 7,8,9

Автор: Спивак А.В.

Существует ли конечное слово из букв русского алфавита, в котором нет двух соседних одинаковых подслов, но таковые появляются при приписывании (как справа, так и слева) любой буквы русского алфавита.

Комментарий. Словом мы называем любую последовательность букв русского алфавита, не обязательно осмысленную, подсловом называется любой фрагмент слова. Например, АБВШГАБ - слово, а АБВ, Ш, ШГАБ - его подслова.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73617

Темы:	[	Индукция (прочее)	]
Темы:	[	Принцип крайнего	]

Сложность: 4+
Классы: 7,8,9

Автор: Охитин С.

На кольцевой автомобильной дороге стоят несколько одинаковых автомашин. Если бы весь бензин, имеющийся в этих автомашинах, слили в одну, то эта машина смогла бы проехать по всей кольцевой дороге и вернуться на прежнее место. Докажите, что хотя бы одна из этих машин может объехать всё кольцо, забирая по пути бензин у остальных машин.

Прислать комментарий Решение

Задача 107789

Темы:	[	Индукция (прочее)	]
Темы:	[	Линейная и полилинейная алгебра	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Канель-Белов А.Я.

На табло горят несколько лампочек. Имеется несколько кнопок. Нажатие на кнопку меняет состояние лампочек, с которыми она соединена. Известно, что для любого набора лампочек найдется кнопка, соединенная с нечетным числом лампочек из этого набора. Докажите, что, нажимая на кнопки, можно погасить все лампочки.

Прислать комментарий Решение

Задача 66477

Темы:	[	Индукция (прочее)	]
	[	Теория графов (прочее)	]
	[	Раскладки и разбиения	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Автор: Райгородский А. М.

На олимпиаду пришло 2018 участников, некоторые из них знакомы между собой. Будем говорить, что несколько попарно знакомых участников образуют "кружок", если любой другой участник олимпиады не знаком с кем-то из них. Докажите, что можно рассадить всех участников олимпиады по 90 аудиториям так, что ни в какой аудитории не будут сидеть все представители какого-либо "кружка".

Прислать комментарий Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 319]