Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 127]      

Над квадратным катком нужно повесить четыре лампы так, чтобы они его полностью освещали. На какой наименьшей высоте нужно повесить лампы, если каждая лампа освещает круг радиуса, равного высоте, на которой она висит?

Решение

Ответ: на высоте , где a — сторона квадрата. Рассмотрим следующие 5 точек: вершины квадрата и его центр. Если диаметр круга меньше , то он может содержать не более одной из этих точек. Поэтому 4 круга радиуса меньше не могут целиком покрыть квадрат со стороной a. Легко видеть, что 4 круга, диаметрами которых служат отрезки, соединяющие центр квадрата с его вершинами, полностью покрывают квадрат.

Прислать комментарий

На поверхности правильного тетраэдра с ребром 1 отмечены девять точек.
Докажите, что среди этих точек найдутся две, расстояние между которыми (в пространстве) не превосходит 0,5.

Решение

Разобьём каждую грань тетраэдра средними линиями на четыре равносторонних треугольника. Назовём кульком объединение трёх таких треугольников, прилегающих к одной вершине тетраэдра. Теперь поверхность тетраэдра разбита на 8 частей: четыре кулька и четыре оставшихся треугольника. Так как отмеченных точек больше восьми, то по крайней мере две из них попадут в одну часть. Очевидно, расстояние между этими точками не превышает 0,5.

Прислать комментарий

Каждая целочисленная точка плоскости окрашена в один из трех цветов, причем все три цвета присутствуют. Докажите, что найдется прямоугольный треугольник с вершинами трех разных цветов.

Решение

Назовем целочисленную точку узлом.
Если на каждой вертикальной прямой все узлы одного цвета, то выберем любой узел (пусть он цвета 1). Проведем через него две перпендикулярные прямые, идущие под углом 45^o к вертикали и выберем на этих прямых точки цветов 2 и 3 (это возможно, поскольку существуют вертикали этих цветов). Полученный треугольник будет искомым.
Аналогично, если все горизонтали одного цвета.

Пусть есть вертикаль v , на которой присутствуют ровно два цвета (скажем, 1 и 2). Тогда выберем любой узел C цвета 3, узел A на v , находящийся с C на одной горизонтали (пусть узел A цвета 1) и узел B цвета 2 на v.

Если же есть вертикаль v , на которой встречаются все три цвета, то выберем горизонталь h , на которой не все точки одного цвета. Пусть точка A их пересечения имеет цвет 1, тогда выберем на h точку B цвета, отличного от 1 (скажем, цвета 2), а на v точку C третьего цвета.

Прислать комментарий

В булке за 10 копеек оказался запечен изюм двух сортов. Докажите, что внутри булки найдутся две такие точки, удаленные на расстояние 1 см, что они либо не принадлежат никаким из изюмин, либо принадлежат изюминам одного сорта.

Решение

Рассмотрим правильный тетраэдр с ребром 1 см, расположенный целиком внутри булки. Для каждой из его вершин существует одна из трех возможностей — либо находиться внутри изюмины одного из двух сортов, либо не принадлежать никакой изюмине. Поскольку всего вершин четыре, а возможностей — три, то для каких-то двух вершин выполнена одна и та же возможность. Эти две вершины и будут искомыми точками.

Прислать комментарий

Внутри равностороннего треугольника со стороной 1 расположено пять точек. Докажите, что расстояние между некоторыми двумя из них меньше 0, 5.

Решение

Средние линии правильного треугольника со стороной 1 разбивают его на четыре правильных треугольника со стороной 0,5. Поэтому в одном из них лежат по крайней мере две данные точки, причем эти точки не могут попасть в вершины треугольника. Расстояние между этими точками меньше 0,5.

Прислать комментарий

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 127]