Фильтр
Задачи Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 71]
Задача 34834 |
|
|
Дорога протяженностью 1 км полностью освещена фонарями, причем каждый фонарь освещает отрезок дороги длиной 1 м. Какое наибольшее количество фонарей может быть на дороге, если известно, что после выключения любого фонаря дорога будет освещена уже не полностью?
Подсказка
Если отрезки, освещенные n-м и (n+2)-м фонарями, пересекаются, то (n+1)-й фонарь можно выключить.
Решение
Занумеруем фонари натуральными числами в порядке следования вдоль дороги. Если отрезки, освещенные n-м и (n+2)-м фонарями, пересекаются, то (n+1)-й фонарь можно выключить. Следовательно, отрезки с различными нечетными номерами, не пересекаются. На отрезке длины 1000 м нельзя расположить больше 999 непересекающихся отрезков длины 1 м. Значит, фонарей не больше 1998. Расположим 1998 фонарей так, чтобы центры освещенных отрезков образовывали арифметическую прогрессию, первый член которой равен 0,5 м, а 1998-й равен 999,5 м. Между n-м и (n+2)-м отрезком остается зазор в 1/1997 м. Его освещает только (n+1)-й фонарь. Поэтому никакой фонарь нельзя выключить.
Ответ
1998.00
|
|
Задача 53470 |
|
|
Докажите, что в каждом девятиугольнике есть пара диагоналей, угол между которыми меньше 7°.
Подсказка
Через произвольную точку проведите 27 прямых, соответственно параллельных диагоналям данного девятиугольника.
Решение
У девятиугольника 9·6 : 2 = 27 диагоналей. Через произвольную точку проведём 27 прямых, соответственно параллельных этим диагоналям. Они разделят полный угол на 54 угла. Поэтому один из них не больше 360°/54 < 7°.
|
|
|
Задача 98260 |
|
|
На отрезке [0, 1] числовой оси расположены четыре точки: a, b, c, d.
Докажите, что найдётcя такая точка x, принадлежащая [0, 1], что
Решение
Точки a, b, c, d делят отрезок [0, 1] не более чем на пять частей; хотя бы одна из этих частей является интервалом длины не меньше 0,2. Пусть x – центр этого интервала. Расстояние от x до концов этого интервала не меньше 0,1, а до других точек из числа a, b, c, d – больше 0,1. Поэтому два из чисел |x – a|, |x – b|, |x – c|, |x – d| не меньше 0,1, а остальные два больше 0,1. Так что все обратные величины не больше 10, а две из них меньше 10. Следовательно, сумма этих обратных величин меньше 40.
|
|
|
Задача 98426 |
|
|
Квадрат разрезали 18 прямыми, из которых девять параллельны одной стороне
квадрата, а девять – другой, на 100 прямоугольников. Оказалось, что ровно девять из них – квадраты. Докажите, что среди этих квадратов найдутся два равных между собой.
Решение
Если среди этих девяти квадратов нет двух квадратов одинакового размера, то они все лежат в разных столбцах и в разных строках, на которые разбили прямыми исходный квадрат. Но тогда прямоугольник, лежащий на пересечении десятой строки и десятого столбца (не содержащих эти девять квадратов) – тоже квадрат.
|
|
|
Задача 108181 |
|
|
Докажите, что в любом выпуклом многоугольнике имеется не более 35 углов, меньших 170o .
Решение
Допустим, что это не так. Тогда в некотором выпуклом
n -угольнике есть не менее 36 углов, меньших 170o
(остальные n-36 углов не превосходят 180o ).
Сумма всех углов выпуклого n -угольника равна 180o(n-2) .
Следовательно,
т.е. 180· 34 < 170· 36 , или 6120 < 6120 , что невозможно.
|
|
|
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 71]
