На плоскости дано 100 окружностей, составляющих связную (то есть не распадающуюся на части) фигуру.
Докажите, что эту фигуру можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя дважды одну и ту же линию.

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 283]      

В шестиугольнике, описанном около окружности, даны пять последовательных сторон — a, b, c, d, e. Найдите шестую сторону.

Подсказка

Пусть AF — искомая сторона данного шестиугольника ABCDEF, M — точка касания этой стороны с вписанной окружностью, AB = a, BC = b, CD = c, DE = d, EF = e. Используя равенство отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки, выразим MF через AM, a, b, c, d и e.

Ответ

a - b + c - d + e.

Прислать комментарий

Дана окружность радиуса 1. Из внешней точки M к ней проведены две взаимно перпендикулярные касательные MA и MB. Между точками касания A и B на меньшей дуге AB взята произвольная точка C и через неё проведена третья касательная KL, образующая с касательными MA и MB треугольник KLM. Найдите периметр этого треугольника.

Подсказка

Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны между собой.

Решение

Поскольку KA = KC и BL = LC, то

Ответ

2.

Прислать комментарий

Выпуклый четырёхугольник ABCD описан вокруг окружности с центром в точке O, при этом  AO = OC = 1,  BO = OD = 2.
Найдите периметр четырёхугольника ABCD.

Подсказка

Данный четырёхугольник – ромб.

Решение

  Пусть M и N – точки касания окружности со сторонами AB и BC соответственно.
  Треугольники AMO и CNO равны по гипотенузе и катету, поэтому  AM = CN,  а так как  BM = BN,  то AB = BC.  Аналогично  BC = CD = AD.  Значит, ABCD – ромб, а O – точка пересечения его диагоналей. Следовательно,  AB² = AO² + BO² = 5.

Ответ

4.

Прислать комментарий

В выпуклый четырёхугольник ABCD вписана окружность с центром в точке O, причём  AO = OC,  BC = 5,  CD = 12,  а угол DAB прямой.
Найдите площадь четырёхугольника ABCD.

Подсказка

Докажите равенство треугольников DAB и DCB.

Решение

Пусть M и N – точки касания вписанной окружности со сторонами AB и BC соответственно. Треугольники AMO и CNO равны по катету и гипотенузе. Поэтому  AM = CN,  а так как  BM = BN,  то  AB = BC = 5.  Аналогично  AD = DC = 12.  Поэтому треугольники DAB и DCB равны по трём сторонам. Следовательно,
S_ABCD = 2S_DAB = 60.

Ответ

60.

Прислать комментарий

В трапеции ABCD с основаниями AD и BC боковая сторона AB равна 2. Биссектриса угла BAD пересекает прямую BC в точке E. В треугольник ABE вписана окружность, касающаяся стороны AB в точке M и стороны BE в точке H,  MH = 1.  Найдите угол BAD.

Подсказка

Воспользуйтесь подобием треугольников BMH и BAE.

Решение

  Поскольку  BE || AD,  то  ∠AEB = ∠EAD = ∠BAE.  Поэтому треугольник ABE – равнобедренный. Следовательно,  BE = AB = 2  и  MH || AE.
  Обозначим  BM = BH = x.  Пусть K – точка касания данной окружности со стороной AE. Тогда  AK = AM = 2 – x,  AE = 4 – 2x.
  Из подобия равнобедренных треугольников MBH и ABE следует, что  MH : AE = BM : AB,  или  ¹/_4–2x = ^x/₂,  или  x² – 2x + 1 = 0.
  Отсюда  x = 1,  то есть эти треугольники – равносторонние. Следовательно,  ∠BAD = 2∠BAE = 120°.

Ответ

120°.

Прислать комментарий

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 283]